《2025年假期新思维七年级数学北师大版》

7. 如图,等腰三角形$ABC$中,$AB = AC$,点$D$,$E分别在边AB$、$AC$上,且$AD = AE$,连接$BE$、$CD$,交于点$F$。
(1) 判断$\angle ABE与\angle ACD$的数量关系,并说明理由；
(2) 求证：过点$A$、$F的直线垂直平分线段BC$。

答案：
(1) 解：$\angle ABE=\angle ACD$. 因为$AB=AC,\angle BAE=\angle CAD,AE=AD$, 所以$\triangle ABE\cong \triangle ACD$. 所以$\angle ABE=\angle ACD$.
(2) 证明：因为$AB=AC$, 所以$\angle ABC=\angle ACB$. 由
(1) 可知$\angle ABE=\angle ACD$, 所以$\angle FBC=\angle FCB$, 所以$FB=FC$. 又因为$AB=AC$, 所以点$A$、$F$均在线段$BC$的垂直平分线上, 即过点$A$、$F$的直线垂直平分线段$BC$.

8. 如图所示,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB的垂直平分线DE交BC于点D$,交$AB于点E$。当$\angle B = 30^{\circ}$时,下列选项不正确的是(D)

A.$AC = AE = BE$
B.$AD = BD$
C.$CD = DE$
D.$AC = BD$

答案： D

9. 如图,$\angle BAC = 110^{\circ}$,若$MP和NQ分别垂直平分AB和AC$,则$\angle PAQ$的度数是$40^{\circ}$。

答案： $40^{\circ}$

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 60^{\circ}$,点$D是BC$边的中点,$DE\perp BC$,$\angle ABC的角平分线BF交DE于\triangle ABC内一点P$,连接$PC$。
(1) 若$\angle ACP = 24^{\circ}$,求$\angle ABP$的度数；
(2) 若$\angle ACP = m^{\circ}$,$\angle ABP = n^{\circ}$,请写出$m$,$n$满足的关系式。

答案： 解：
(1)$\because$点$D$是$BC$边的中点,$DE\perp BC,\therefore PB=PC,\therefore \angle PBC=\angle PCB,\because BP$平分$\angle ABC,\therefore \angle PBC=\angle ABP,\because \angle A=60^{\circ},\angle ACP=24^{\circ},\therefore \angle PBC+\angle PCB+\angle ABP=120^{\circ}-24^{\circ},\therefore 3\angle ABP=120^{\circ}-24^{\circ},\therefore \angle ABP=32^{\circ}$;
(2)$\because$点$D$是$BC$边的中点,$DE\perp BC,\therefore PB=PC,\therefore \angle PBC=\angle PCB,\because BP$平分$\angle ABC,\therefore \angle PBC=\angle ABP,\therefore \angle PBC=\angle PCB=\angle ABP=n^{\circ},\because \angle A=60^{\circ},\angle ACP=m^{\circ},\therefore 3\angle ABP=120^{\circ}-m^{\circ},\therefore 3n^{\circ}+m^{\circ}=120^{\circ}$. 即$m + 3n = 120$.

11. 如图,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,则所得图形大致是(C)

答案： C

12. 如图,网格图中每个小正方形的边长为$1$,点$A$、$B$、$C$都是格点。
(1) 画出$\triangle ABC关于直线MN对称的\triangle A_1B_1C_1$；
(2) 写出$AA_1$的长度。

答案：
解：
(1) 如图所示,$\triangle A_1B_1C_1$即为所求;
(2) 由图可得,$AA_1=10$.