《2025年假期新思维七年级数学北师大版》

15.(重庆中考)(6分)如图,在$\triangle ABC和\triangle CED$中,$AB// CD$,$AB= CE$,$AC= CD$。求证：$\angle B= \angle E$。

答案： 证明: $\because AB// CD,\therefore \angle BAC=\angle ECD$, 在$\triangle ABC$和$\triangle CED$中, $\begin{cases}AB = CE\\\angle BAC=\angle ECD\\AC = CD\end{cases}$
$\therefore \triangle ABC\cong\triangle CED(SAS),\therefore \angle B=\angle E$.

16.(泸州中考)(6分)如图,点$A$、$F$、$C$、$D$在同一条直线上,已知$AF= DC$,$\angle A= \angle D$,$BC// EF$,求证：$AB= DE$。

答案： 证明: $\because AF = CD,\therefore AC = DF,\because BC// EF,\therefore \angle ACB=\angle DFE$,
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中, $\begin{cases}\angle A=\angle D\\AC = DF\\\angle ACB=\angle DFE\end{cases}$, $\therefore \triangle ABC\cong\triangle DEF(ASA),\therefore AB = DE$.

17.(6分)如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm$的两部分,求三角形各边的长。

答案： 解: 设$AB = AC = 2x$, 则$AD = CD = x$,
(1) 当$AB + AD = 30,BC + CD = 24$时, 有$2x + x = 30,\therefore x = 10,2x = 20,BC = 24 - 10=$
14. 三边长分别为: $20\ cm,20\ cm,14\ cm$.
(2) 当$AB + AD = 24,BC + CD = 30$时, 有$2x + x = 24$,
$\therefore x = 8,BC = 30 - 8 = 22$. 三边长分别为: $16\ cm,16\ cm,22\ cm$.

18.(南充中考)(7分)已知$\triangle ABN和\triangle ACM$位置如图所示,$AB= AC$,$AD= AE$,$\angle 1= \angle 2$。
(1)求证：$BD= CE$；
(2)求证：$\angle M= \angle N$。

答案： 证明:
(1) 在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中, $\begin{cases}AB = AC\\\angle 1=\angle 2\\AD = AE\end{cases}$,
$\therefore \triangle ABD\cong\triangle ACE(SAS),\therefore BD = CE$;
证明:
(2) $\because \angle 1=\angle 2,\therefore \angle 1+\angle DAE=\angle 2+\angle DAE$, 即$\angle BAN=\angle CAM$, 由
(1)得:
$\triangle ABD\cong\triangle ACE,\therefore \angle B=\angle C$,
在$\triangle ACM$和$\triangle ABN$中, $\begin{cases}\angle C=\angle B\\AC = AB\\\angle CAM=\angle BAN\end{cases}$,
$\therefore \triangle ACM\cong\triangle ABN(ASA),\therefore \angle M=\angle N$.

19.(江西中考)(7分)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$\angle B= 30^{\circ}$,$AD平分\angle CAB$。
(1)求$\angle CAD$的度数；
(2)延长$AC至E$,使$CE= AC$,求证：$DA= DE$。

答案：
(1) 解: $\because$ 在$Rt\triangle ABC$中, $\angle ACB = 90^{\circ},\angle B = 30^{\circ},\therefore \angle CAB = 60^{\circ}$. 又$\because AD$平分$\angle CAB$,
$\therefore \angle CAD=\frac{1}{2}\angle CAB = 30^{\circ}$;
(2) 证明: $\because \angle ACD+\angle ECD = 180^{\circ}$, 且$\angle ACD = 90^{\circ},\therefore \angle ECD = 90^{\circ},\therefore \angle ACD=$
$\angle ECD$, 在$\triangle ACD$与$\triangle ECD$中, $\begin{cases}AC = EC\\\angle ACD=\angle ECD\\CD = CD\end{cases},\therefore \triangle ACD\cong\triangle ECD(SAS),\therefore DA = DE$.

20.(8分)如图所示,某地有三个车站$A$、$B$、$C$成三角形,一辆公共汽车从$B站前往到C$站。
(1)当汽车运动到点$D$时,刚好$BD= CD$,连接$AD$,$AD$这条线段是什么线段？这样的线段在$\triangle ABC$中有几条？此时有面积相等的三角形吗？
(2)汽车继续向前运动,当运动到点$E$时,发现$\angle BAE= \angle CAE$,那么$AE$这条线段是什么线段？在$\triangle ABC$中,这样的线段又有几条？
(3)汽车继续向前运动,当运动到点$F$时,发现$\angle AFB= \angle AFC= 90^{\circ}$,则$AF$是什么线段？这样的线段有几条？

答案： 解:
(1) $AD$是$\triangle ABC$中$BC$边上的中线, 三角形中有三条中线. 此时$\triangle ABD$与$\triangle ADC$
面积相等.
(2) $AE$是$\triangle ABC$中$\angle BAC$的角平分线, 三角形中角平分线有三条.
(3) $AF$是$\triangle ABC$中$BC$边上的高线, 高线有时在三角形外部, 三角形有三条高线.