《2025年假期新思维七年级数学北师大版》

15. (内江中考)(6分)如图,AD平分$∠BAC,AD⊥BD$,垂足为点D,$DE// AC$.
求证:$\triangle BDE$是等腰三角形.

答案：
证明：$\because DE// AC$，
$\therefore \angle 1=\angle 3$，
$\because AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle 1=\angle 2$，
$\therefore \angle 2=\angle 3$，
$\because AD\perp BD$，
$\therefore \angle 2+\angle B=90^{\circ},\angle 3+\angle BDE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle B=\angle BDE$，
$\therefore \triangle BDE$是等腰三角形.

16. (6分)如图,A、B是两个蓄水池,都在河流α的同侧,为了方便灌溉作物,要在河边建一个抽水站,将河水送到A、B两地,问该站建在河边什么地方,可使所修的渠道最短,试在图中确定该点.(保留作图痕迹)

答案：
解：如图所示，我们把靠近蓄水池的河岸记为直线$l$（如图）.
作法：（1）取点$B$关于直线$l$的对称点$B'$；（即作$BO$垂直直线$l$于$O$，再在$BO$的延长线上截取$OB' = OB$）
（2）连接$AB'$，交直线$l$于$C$. 则点$C$就是要求作的点.（即点$C$就是抽水站的位置）

17. (6分)在$3×3$的正方形格点图中,有格点$\triangle ABC和\triangle DEF$,且$\triangle ABC和\triangle DEF$关于某直线成轴对称,请在如图给出的图中画出4个这样的$\triangle DEF$.(每个$3×3$正方形个点图中限画一种,若两个图形中的对称轴是平行的,则视为一种)

答案：
解：如图，$\triangle DEF$  即为所求.(答案不唯一)

18. (7分)如图所示,在等边三角形ABC中,$∠B$、$∠C$的平分线交于点O,OB和OC的垂直平分线分别交BC于点E、F,试用你所学的知识说明$BE= EF= FC$.

答案：
解：过点$O$作$OD\perp BC$，垂足为$D$，连接$OE,OF$.
由垂直平分线的性质得$BE = OE,OF = FC$.
$\because \triangle ABC$为等边三角形，$\therefore \angle A=\angle ABC=\angle ACB = 60^{\circ}$.
又$\because OB、OC$分别为$\angle ABC、\angle ACB$的平分线，
$\therefore \angle OBC=\angle OCB = 30^{\circ},\angle BOD = 90^{\circ}-\angle OBP = 60^{\circ},\angle EOD=\angle BOD-\angle BOE = 30^{\circ},\therefore \angle OED = 60^{\circ}$，
同理：$\angle OFD = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle OEF$为等边三角形，$\therefore OE = EF = OF$.
$\therefore BE = EF = FC$.

19. (7分)如图,$\triangle ABC和\triangle ADE$是等边三角形,AD是BC边上的中线.求证:$BE= DB$.

答案： 证明：$\because \triangle ABC$和$\triangle ADE$是等边三角形，$AD$为$BC$边上的中线，
$\therefore AE = AD$，$AD$为$\angle BAC$的平分线，即$\angle CAD=\angle BAD = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle BAE=\angle BAD = 30^{\circ}$，
在$\triangle ABE$和$\triangle ABD$中，$\begin{cases}AE = AD\\\angle BAE=\angle BAD\\AB = AB\end{cases}$，$\therefore \triangle ABE\cong \triangle ABD(SAS)$，$\therefore BE = BD$.

20. (8分)如图,已知等边$\triangle ABC$中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且$CE= CD,DM⊥BC$,垂足为M,求证:M是BE的中点.

答案： 证明：方法一：设$MC = x$，则可求得$CE = CD = 2x,BC = AC = 4x,\therefore BM = ME = 3x$.
方法二：连$BD$，可求得$\angle DBC=\angle E = 30^{\circ}$，则$BD = ED$，又$DM\perp BC,\therefore M$是$BE$的中点.