《2025年假期新思维七年级数学北师大版》

16.(6分)用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b,规定$a☆b= ab^{2}+2ab+a$。如：$1☆3= 1×3^{2}+2×1×3+1= 16$。
(1)求$(-2)☆3$的值；
(2)若$(\frac {a+1}{2}☆3)= 8$,求a的值。

答案： 解：
(1)$(-2)☆3=-2×3^{2}+2×(-2)×3+(-2)=-32$；
(2)$\frac{a + 1}{2}☆3=\frac{a + 1}{2}×3^{2}+2×\frac{a + 1}{2}×3+\frac{a + 1}{2}=8a + 8 = 8$，
解得$a = 0$。

17.(6分)当$a≠0$时,请解答下列问题：
(1)求$\frac {|a|}{a}$的值；
(2)若$b≠0$,且$\frac {|a|}{a}+\frac {b}{|b|}= 0$,求$\frac {|ab|}{ab}$的值。

答案： 解：
(1)当$a＞0$时，$\frac{|a|}{a}=1$；当$a＜0$时，$\frac{|a|}{a}=-1$。
(2)$\because\frac{|a|}{a}+\frac{b}{|b|}=0$，$\therefore a$，$b$异号，当$a＞0$，$b＜0$时，$\frac{|ab|}{ab}=-1$；当$a＜0$，$b＞0$时，$\frac{|ab|}{ab}=-1$。

18.(7分)一只蚂蚁从某点A出发,在一条东西向的直线上来回爬行,规定爬行的路程记为正数,向西爬行的路程记为负数,这只蚂蚁爬行的各段路程依次如下(单位：厘米)：
-4,-6,+8,-11,+3,+7,-10,+9,+4
(1)请通过计算说明这只蚂蚁是否回到了起点A？
(2)若这只蚂蚁爬行的速度是每秒0.5厘米,那么这只蚂蚁共爬行了多长时间？

答案： 解：
(1)$\because(-4)+(-6)+(+8)+(-11)+(+3)+(+7)+(-10)+(+9)+(+4)=-4 - 6 + 8 - 11 + 3 + 7 - 10 + 9 + 4 = 0$，
$\therefore$这只蚂蚁回到了起点$A$；
(2)$(4 + 6 + 8 + 11 + 3 + 7 + 10 + 9 + 4)÷0.5 = 62÷0.5 = 124$（秒）。
答：这只蚂蚁共爬行了124秒。

19.(7分)若a、b互为相反数,c、d互为倒数,m的绝对值为2。
(1)直接写出$a+b$,cd,m的值；
(2)求$m+cd+\frac {a+b}{m}$的值。

答案： 解：
(1)$\because a$、$b$互为相反数，$c$、$d$互为倒数，$m$的绝对值为2，
$\therefore a + b = 0$，$cd = 1$，$m = ±2$。
(2)当$m = 2$时，$m + cd + \frac{a + b}{m}=2 + 1 + 0 = 3$；当$m = -2$时，$m + cd + \frac{a + b}{m}=-2 + 1 + 0 = -1$。

20.(8分)已知有理数-0.5、$\frac {5}{2}$、$-|-2|$、$-(-1)$、$(-2)^{2}$。
(1)以上各数中整数有个,既是分数又是负数的是；
(2)在数轴上标出以上各数；
(3)把上列各数用“＞”号连接起来。

答案：
解：
(1)整数为$-|-2|$、$-(-1)$、$(-2)^{2}$，共有3个，既是分数又是负数的是$-0.5$；
(2)在数轴上表示为：

(3)各数用“$＞$”号连接起来为$(-2)^{2}＞\frac{5}{2}＞-(-1)＞-0.5＞-|-2|$。