《2025年假期新思维七年级数学北师大版》

8. 杨辉三角, 又称贾宪三角, 是二项式系数在三角形中的一种几何排列, 如图, 观察下面的杨辉三角:

按照前面的规律, 则 $(a + b)^5 = $$a ^ { 5 } + 5 a ^ { 4 } b + 10 a ^ { 3 } b ^ { 2 } + 10 a ^ { 2 } b ^ { 3 } + 5 a b ^ { 4 } + b ^ { 5 }$.

答案： $a ^ { 5 } + 5 a ^ { 4 } b + 10 a ^ { 3 } b ^ { 2 } + 10 a ^ { 2 } b ^ { 3 } + 5 a b ^ { 4 } + b ^ { 5 }$

9. 若关于 $x$ 的二次三项式 $x^2 + ax + \frac{1}{4}$ 是完全平方式, 则 $a$ 的值是$\pm 1$.

答案： $\pm 1$

10. 发现任意五个连续整数的平方和是 5 的倍数.
验证 (1) $(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2$ 的结果是 5 的几倍?
(2) 设五个连续整数的中间一个为 $n$, 写出它们的平方和, 并说明是 5 的倍数.
延伸 三个连续整数的平方和被 3 除的余数是 2.

答案： 解: 验证
(1) $( - 1 ) ^ { 2 } + 0 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } = 1 + 0 + 1 + 4 + 9 = 15$，$15 ÷ 5 = 3$，即 $( - 1 ) ^ { 2 } + 0 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 }$ 的结果是 5 的 3 倍；
(2) 设五个连续整数的中间一个为 $n$，则其余的 4 个整数分别是 $n - 2$，$n - 1$，$n + 1$，$n + 2$，它们的平方和为: $( n - 2 ) ^ { 2 } + ( n - 1 ) ^ { 2 } + n ^ { 2 } + ( n + 1 ) ^ { 2 } + ( n + 2 ) ^ { 2 } = n ^ { 2 } - 4 n + 4 + n ^ { 2 } - 2 n + 1 + n ^ { 2 } + n ^ { 2 } + 2 n + 1 + n ^ { 2 } + 4 n + 4 = 5 n ^ { 2 } + 10$，
$\because 5 n ^ { 2 } + 10 = 5 ( n ^ { 2 } + 2 )$，
又 $n$ 是整数，$\therefore n ^ { 2 } + 2$ 是整数，
$\therefore$ 五个连续整数的平方和是 5 的倍数；
延伸 设三个连续整数的中间一个为 $n$，则其余的 2 个整数是 $n - 1$，$n + 1$，
它们的平方和为: $( n - 1 ) ^ { 2 } + n ^ { 2 } + ( n + 1 ) ^ { 2 }$
$ = n ^ { 2 } - 2 n + 1 + n ^ { 2 } + n ^ { 2 } + 2 n + 1 = 3 n ^ { 2 } + 2$，
$\because n$ 是整数，$\therefore n ^ { 2 }$ 是整数，
$\therefore$ 任意三个连续整数的平方和被 3 除的余数是 2.

11. 规定两数 $a, b$ 之间的一种运算, 记作 $(a, b)$: 如果 $a^c = b$, 那么 $(a, b) = c$.
例如: 因为 $2^3 = 8$, 所以 $(2, 8) = 3$.
(1) 根据上述规定, 填空:
$(3, 27) = $3, $(5, 1) = $0, $(2, \frac{1}{4}) = $-2.
(2) 小明在研究这种运算时发现一个现象: $(3^n, 4^n) = (3, 4)$, 小明给出了如下的证明:
设 $(3^n, 4^n) = x$, 则 $(3^n)^x = 4^n$, 即 $(3^x)^n = 4^n$.
所以 $3^x = 4$, 即 $(3, 4) = x$, 所以 $(3^n, 4^n) = (3, 4)$.
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式: $(3, 4) + (3, 5) = (3, 20)$.

答案：
(1) 解: $\because 3 ^ { 3 } = 27$，$\therefore ( 3,27 ) = 3$；$\because 5 ^ { 0 } = 1$，$\therefore ( 5,1 ) = 0$；$\because 2 ^ { - 2 } = \frac { 1 } { 4 }$，$\therefore ( 2, \frac { 1 } { 4 } ) = - 2$；
(2) 证明: 设 $( 3,4 ) = x$，$( 3,5 ) = y$，则 $3 ^ { x } = 4$，$3 ^ { y } = 5$，$\therefore 3 ^ { x + y } = 3 ^ { x } \cdot 3 ^ { y } = 20$，$\therefore ( 3,20 ) = x + y$，$\therefore ( 3,4 ) + ( 3,5 ) = ( 3,20 )$.

12. (1) 问题再现
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法, 借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性, 从而可以帮助我们快速解题. 初中数学里的一些代数公式, 很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.
例如: 利用图形的几何意义证明完全平方公式.
证明: 将一个边长为 $a$ 的正方形的边长增加 $b$, 形成两个长方形和两个正方形, 如图 1:

这个图形的面积可以表示成:
$(a + b)^2$ 或 $a^2 + 2ab + b^2$
$\therefore (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
这就验证了两数和的完全平方公式.
类比解决 请你类比上述方法, 利用图形的几何意义证明平方差公式. (要求画出图形并写出推理过程)
(2) 问题提出
如何利用图形几何意义的方法证明: $1^3 + 2^3 = 3^2$?
如图 2, $A$ 表示 1 个 $1 × 1$ 的正方形, 即: $1 × 1 × 1 = 1^3$,
$B$ 表示 1 个 $2 × 2$ 的正方形, $C$ 与 $D$ 恰好可以拼成 1 个 $2 × 2$ 的正方形, 因此: $B$、$C$、$D$ 就可以表示 2 个 $2 × 2$ 的正方形, 即: $2 × 2 × 2 = 2^3$,
而 $A$、$B$、$C$、$D$ 恰好可以拼成一个 $(1 + 2) × (1 + 2)$ 的大正方形.
由此可得: $1^3 + 2^3 = (1 + 2)^2 = 3^2$,
尝试解决 请你类比上述推导过程, 利用图形的几何意义确定: $1^3 + 2^3 + 3^3 = $____. (要求写出结论并构造图形写出推证过程).
(3) 问题拓展
请用上面的表示几何图形面积的方法探究: $1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3 = $____. (直接写出结论即可, 不必写出解题过程)

答案：
解:
(1) $\because$ 如图 1 的阴影部分的面积是 $a ^ { 2 } - b ^ { 2 }$，图 4 的阴影部分的面积是 $( a + b ) ( a - b )$，
$\therefore a ^ { 2 } - b ^ { 2 } = ( a + b ) ( a - b )$，
这就验证了平方差公式；
(2) 如图 2，$A$ 表示 1 个 $1 × 1$ 的正方形，即 $1× 1 × 1 = 1 ^ { 3 }$；$B$ 表示 1 个 $2 × 2$ 的正方形，$C$ 与 $D$ 恰好可以拼成 1 个 $2 × 2$ 的正方形，因此 $B$、$C$、$D$ 就可以表示 2 个 $2 × 2$ 的正方形，
即: $2 × 2 × 2 = 2 ^ { 3 }$；$G$ 与 $H$，$E$ 与 $F$ 可以表示 2 个 $3 × 3$ 的正方形，$I$ 表示 1 个 $3 × 3$ 的正方形，因此 $E$、$F$、$G$、$H$、$I$ 可以表示 3 个 $3 × 3$ 的正方形，因此: $3 × 3 × 3 = 3 ^ { 3 }$. 而整个图形恰好可以拼成一个 $( 1 + 2 + 3 ) × ( 1 + 2 + 3 )$ 的大正方形，由此可得: $1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } = ( 1 + 2 + 3 ) ^ { 2 } = 6 ^ { 2 }$；
(3) $ \left[ \frac { 1 } { 2 } n ( n + 1 ) \right] ^ { 2 }$.