《2025年假期新思维七年级数学北师大版》

16. (6分)已知关于 $ x $ 的方程 $ \frac { 1 } { 2 } ( 1 - x ) = 1 + k $ 的解与方程 $ \frac { 3 } { 4 } ( x - 1 ) - \frac { 2 } { 5 } ( 3 x + 2 ) = \frac { k } { 10 } - \frac { 3 ( x - 1 ) } { 2 } $ 的解互为相反数,求 $ k $ 的值.

答案： 解：$ \frac { 1 } { 2 } ( 1 - x ) = 1 + k $，去括号得：$ \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } x = 1 + k $，去分母得：$ 1 - x = 2 + 2 k $，移项得：$ - x = 1 + 2 k $，系数化为 1 得：$ x = - 1 - 2 k $；
$ \frac { 3 } { 4 } ( x - 1 ) - \frac { 2 } { 5 } ( 3 x + 2 ) = \frac { k } { 10 } - \frac { 3 ( x - 1 ) } { 2 } $，
去分母得：$ 15 ( x - 1 ) - 8 ( 3 x + 2 ) = 2 k - 30 ( x - 1 ) $，去括号得：$ 15 x - 15 - 24 x - 16 = 2 k - 30 x + 30 $，移项得：$ 15 x - 24 x + 30 x = 2 k + 30 + 15 + 16 $，合并同类项得：$ 21 x = 61 + 2 k $，把 $ x $ 的系数化为 1 得：$ x = \frac { 61 + 2 k } { 21 } $，
∵ 两个方程的解互为相反数，
∴ $ - 1 - 2 k + \frac { 61 + 2 k } { 21 } = 0 $，解得：$ k = 1 $。

17. (6分)如果方程 $ \frac { x - 4 } { 3 } - 8 = - \frac { x + 2 } { 2 } $ 的解与方程 $ 4 x - ( 3 a + 1 ) = 6 x + 2 a - 1 $ 的解相同,求式子 $ a - \frac { 1 } { a } $ 的值.

答案： 解：解方程 $ \frac { x - 4 } { 3 } - 8 = - \frac { x + 2 } { 2 } $，得 $ x = 10 $，
把 $ x = 10 $ 代入方程 $ 4 x - ( 3 a + 1 ) = 6 x + 2 a - 1 $，得 $ 4 × 10 - ( 3 a + 1 ) = 6 × 10 + 2 a - 1 $，
解得 $ a = - 4 $，所以 $ a - \frac { 1 } { a } = - 3 \frac { 3 } { 4 } $。

18. (7分)右图的数阵是由一些奇数排成的.

(1) 右图框中的四个数有什么关系? (设框中第一行第一个数为 $ x $)
(2) 若这样框出的四个数的和是200,求这四个数.
(3) 是否存在这样的四个数,它们的和为420,为什么?

答案： 解：
(1)设第一行第一个数为 $ x $，则其余 3 个数依次为 $ x + 2 $，$ x + 8 $，$ x + 10 $，
(2)根据题意，得 $ x + x + 2 + x + 8 + x + 10 = 200 $，
解得 $ x = 45 $，所以这四个数依次为 45，47，53，55。
(3)不存在。因为 $ 4 x + 20 = 420 $ 解得 $ x = 100 $，为偶数，不合题意，故不存在。

19. (7分)为了节约开支和节约能源,某单位按以下规定收取每月的电费:用电不超过140度,按每度0.43元收费,如果超过140度,超过的部分按每度0.57元收费,若某用户四月份的电费平均每度0.5元,则该用户四月份应交电费多少元?

答案： 解：设四月份用电 $ x $ 度，根据题意，得 $ 140 × 0.43 + ( x - 140 ) × 0.57 = 0.5 x $，
解得 $ x = 280 $，
∴ $ 0.5 x = 0.5 × 280 = 140 $（元）。
答：该用户四月份应交电费 140 元。