《2025年假期新思维七年级数学北师大版》

21. (9 分)如图,$ O A $ 的方向是北偏东 $ 15 ^ { \circ } $,$ O B $ 的方向是西偏北 $ 50 ^ { \circ } $.
(1)若 $ \angle A O C = \angle A O B $,求 $ O C $ 的方向；
(2)$ O D $ 是 $ O B $ 的反向延长线,求 $ O D $ 的方向；
(3)$ \angle B O D $ 可看作是 $ O B $ 绕点 $ O $ 顺时针方向旋转至 $ O D $,作 $ \angle B O D $ 的平分线 $ O E $,求 $ O E $ 的方向.

答案：
解：（1）
∵OB的方向是西偏北50°，
∴∠1 = 90°−50° = 40°，
∴∠AOB = 40°+15° = 55°，
∵∠AOC = ∠AOB，
∴∠AOC = 55°，
∴∠FOC = ∠AOF + ∠AOC = 15°+55° = 70°，
∴OC的方向是北偏东70°；
（2）
∵OB的方向是西偏北50°，
∴∠DOH = 50°，
∴OD的方向是东偏南50°；
（3）
∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠DOE = 90°，
∵∠DOH = 50°，
∴∠HOE = 40°，
∴OE的方向是东偏北40°。

22. (9 分)探究归纳题：

(1)试验分析：
如图 1,经过 $ A $ 点可以做1条对角线；同样,经过 $ B $ 点可以做1条；经过 $ C $ 点可以做1条；经过 $ D $ 点可以做1条对角线.
通过以上分析和总结,图 1 共有2条对角线.
(2)拓展延伸：
运用(1)的分析方法,可得：
图 2 共有5条对角线；
图 3 共有9条对角线；
(3)探索归纳：
对于 $ n $ 边形 $ ( n ＞ 3 ) $,共有$\frac{n(n−3)}{2}$条对角线.(用含 $ n $ 的式子表示)
(4)特例验证：
十边形有35对角线.

答案： 解：经过A点可以做1条对角线；同样，经过B点可以做1条；经过C点可以做1条；经过D点可以做1条对角线。通过以上分析和总结，图1共有2条对角线。
（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有5条对角线；图3共有9条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形(n ＞ 3)，共有$\frac{n(n−3)}{2}$条对角线。
（4）特例验证：十边形有$\frac{10×(10−3)}{2}$ = 35条对角线。故答案为：1，1，1，1，2；5，9；$\frac{n(n−3)}{2}$；35。

23. (内江中考)(12 分)问题引入：
(1)如图①,$ \triangle A B C $ 中,点 $ O $ 是 $ \angle A B C $ 和 $ \angle A C B $ 平分线的交点,若 $ \angle A = \alpha $,则 $ \angle B O C = $______(用 $ \alpha $ 表示)；如图②,$ \angle C B O = \frac { 1 } { 3 } \angle A B C $,$ \angle B C O = \frac { 1 } { 3 } \angle A C B $,$ \angle A = \alpha $,则 $ \angle B O C = $______(用 $ \alpha $ 表示)
拓展研究：
(2)如图③,$ \angle C B O = \frac { 1 } { 3 } \angle D B C $,$ \angle B C O = \frac { 1 } { 3 } \angle E C B $,$ \angle A = \alpha $,请猜想 $ \angle B O C = $______(用 $ \alpha $ 表示),并说明理由.
(3)$ B O $、$ C O $ 分别是 $ \triangle A B C $ 的外角 $ \angle D B C $、$ \angle E C B $ 的 $ n $ 等分线,它们交于点 $ O $,$ \angle C B O = \frac { 1 } { n } \angle D B C $,$ \angle B C O = \frac { 1 } { n } \angle E C B $,$ \angle A = \alpha $,请猜想 $ \angle B O C = $______.

答案：
解：（1）如图①，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC + ∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB)，在△OBC中，∠BOC = 180°−(∠OBC + ∠OCB)=180°−$\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB)=180°−$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A = 90°+$\frac{1}{2}$α；
如图②，在△OBC中，∠BOC = 180°−(∠OBC + ∠OCB)=180°−$\frac{1}{3}$(∠ABC + ∠ACB)=180°−$\frac{1}{3}$(180°−∠A)=120°+$\frac{1}{3}$∠A = 120°+$\frac{1}{3}$α；

（2）如图③，在△OBC中，∠BOC = 180°−(∠OBC + ∠OCB)=180°−$\frac{1}{3}$(∠DBC + ∠ECB)=180°−$\frac{1}{3}$(∠A + ∠ACB + ∠A + ∠ABC)=180°−$\frac{1}{3}$(∠A + 180°)=120°−$\frac{1}{3}$α；
（3）在△OBC中，∠BOC = 180°−(∠OBC + ∠OCB)=180°−$\frac{1}{n}$(∠DBC + ∠ECB)=180°−$\frac{1}{n}$(∠A + ∠ACB + ∠A + ∠ABC)=180°−$\frac{1}{n}$(∠A + 180°)=$\frac{(n−1)×180°}{n}$−$\frac{1}{n}$α。
故答案为90°+$\frac{1}{2}$α；120°+$\frac{1}{3}$α；120°−$\frac{1}{3}$α；$\frac{(n−1)×180°}{n}$−$\frac{1}{n}$α。