《2025年假期新思维七年级数学北师大版》

1. (德阳中考) 计算: $(x + 3)(x - 3) = $$x ^ { 2 } - 9$.

答案： $x ^ { 2 } - 9$

2. (巴中中考) 若 $a + b = 3, ab = 2$, 则 $(a - b)^2 = $1.

答案： 1

3. 已知 $x^2 - y^2 = 12, x - y = 2$, 则 $\frac{x}{y} = $2.

答案： 2

4. 代数式 $4x^2 + 3mx + 9$ 是完全平方式, 则 $m = $$\pm 4$.

答案： $\pm 4$

5. 已知正方形的面积是 $9x^2 + 6xy + y^2(x ＞ 0, y ＞ 0)$, 利用因式分解, 写出表示该正方形的边长的代数式$3 x + y$.

答案： $3 x + y$

6. 观察下列算式: $3^2 - 1^2 = 8, 5^2 - 3^2 = 16, 7^2 - 5^2 = 24, 9^2 - 7^2 = 32, …$, 请将你发现的规律用式子表示出来: $( 2 n + 1 ) ^ { 2 } - ( 2 n - 1 ) ^ { 2 } = 8 n$.

答案： $( 2 n + 1 ) ^ { 2 } - ( 2 n - 1 ) ^ { 2 } = 8 n$

7. (重庆中考) 计算 $a^5 ÷ a^3$ 结果正确的是 (B)
A.$a$
B.$a^2$
C.$a^3$
D.$a^4$

答案： B

8. (成都中考) 下列计算正确的是 (C)
A.$a^5 + a^2 = 10^{10}$
B.$a^7 ÷ a = a^5$
C.$a^3 \cdot a^2 = a^5$
D.$(-a^3)^2 = -a^5$

答案： C

9. 下列因式分解中, 结果正确的是 (B)
A.$2m^2n - 8n^3 = 2n(m^2 - 4n^2)$
B.$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$
C.$x^2 - x + \frac{1}{4} = x^2(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{4x^2})$
D.$9a^2 - 8b^2 = (3a + 3b)(3a - 3b)$

答案： B

10. 计算 $(1 + 3x)(3x - 1) + 9(\frac{1}{3} - x)(x + \frac{1}{3})$ 的结果是 (C)
A.$18x^2 - 2$
B.$2 - 18x^2$
C.0
D.$8x^2$

答案： C

11. 把多项式 $(1 + x)(1 - x) - (x - 1)$ 提取公因式 $(x - 1)$ 后, 余下的部分是 (D)
A.$(x + 1)$
B.$-(x + 1)$
C.$x$
D.$-(x + 2)$

答案： D

12. 若 $a - b = 8, a^2 + b^2 = 82$, 则 $3ab$ 的值为 (C)
A.9
B.-9
C.27
D.-27

答案： C

13. 对于任何整数 $n$, 多项式 $(n + 7)^2 - (n - 3)^2$ 的值都能 (C)
A.被 $2n + 4$ 整除
B.被 $n + 2$ 整除
C.被 20 整除
D.被 10 整除和被 $2n + 4$ 整除

答案： C

14. $(x^2 + px + 8)(x^2 - 3x + q)$ 乘积中不含 $x^2$ 项和 $x^3$ 项, 则 $p, q$ 的值 (B)
A.$p = 0, q = 0$
B.$p = 3, q = 1$
C.$p = -3, -9$
D.$p = -3, q = 1$

答案： B

15. (6 分) 计算:
(1) $(ab^2)^2 \cdot (-a^3b)^3 ÷ (-5ab)$;
(2) $x^2 - (x + 2)(x - 2) - (x + \frac{1}{x})^2$;
(3) $[(x + y)^2 - (x - y)^2] ÷ 2xy$.

答案： 解:
(1) 原式 $ = a ^ { 2 } b ^ { 4 } \cdot ( - a ^ { 9 } b ^ { 3 } ) ÷ ( - 5 a b ) = - a ^ { 11 } b ^ { 7 } ÷ ( - 5 a b ) = \frac { 1 } { 5 } a ^ { 10 } b ^ { 6 }$；
(2) 原式 $ = x ^ { 2 } - ( x ^ { 2 } - 4 ) - ( x ^ { 2 } + 2 + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } ) = x ^ { 2 } - x ^ { 2 } + 4 - x ^ { 2 } - 2 - \frac { 1 } { x ^ { 2 } } = 2 - x ^ { 2 } - \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$；
(3) 原式 $ = [ ( x ^ { 2 } + 2 x y + y ^ { 2 } ) - ( x ^ { 2 } - 2 x y + y ^ { 2 } ) ] ÷ 2 x y = ( x ^ { 2 } + 2 x y + y ^ { 2 } - x ^ { 2 } + 2 x y - y ^ { 2 } ) ÷ 2 x y = 4 x y ÷ 2 x y = 2$.