《2025年假期新思维七年级数学北师大版》

21. (9分)如图,E在$\triangle ABC$的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于点F,$DF= EF,BD= CE$.求证:$\triangle ABC$是等腰三角形.

答案：
证明：过点$D$作$DG// AE$于点$G,\because DG// AC,\therefore \angle GDF=\angle CEF$，
在$\triangle GDF$和$\triangle CEF$中，$\begin{cases}\angle GDF=\angle CEF\\DF = EF\\\angle DFG=\angle CEF\end{cases}$，
$\therefore \triangle GDF\cong \triangle CEF(ASA),\therefore DG = CE$.
又$\because BD = CE,\therefore BD = DG$，
$\therefore \angle DBG=\angle DGB,\because DG// AC,\therefore \angle DGB=\angle ACB,\therefore \angle ABC=\angle ACB,\therefore AB = AC,\therefore \triangle ABC$是等腰三角形.

22. (9分)如图,三角形纸片ABC,$AB= 8,BC= 6,$$AC= 5$,沿过点B的直线折叠这个三角形,折痕为BD(点D在线段AC上且不与A、C重合).
(1)如图①,若点C落在AB边上的点E处,求$\triangle ADE$的周长.
(2)如图②,若点C落在AB边下方的点E处,求$\triangle ADE$的周长的取值范围.

答案： 解：（1）$\because$折叠这个三角形顶点$C$落在$AB$边上的点$E$处，$\therefore DE = CD,BE = BC = 6,\therefore AE = AB - BE = 8 - 6 = 2,\therefore AD + DE = AD + CD = AC = 5,\therefore \triangle AED$的周长$= 5 + 2 = 7$；
（2）$\because$折叠这个三角形顶点$C$落在$AB$边下方的点$E$处，$\therefore DE = CD,BE = BC = 6,\therefore$在$\triangle ADE$中，$AD + DE = AD + CD = AC = 5,AE\lt AD + DE$，即$AE\lt 5$. 在$\triangle ABE$中，$AE\gt AB - BE$，即$AE\gt 2$，所以$2\lt AE\lt 5,\therefore 7\lt \triangle AED$的周长$\lt 10$.

23. (12分)如图1,以$\triangle ABC$的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接EG.
(1)试判断$\triangle ABC与\triangle AEG$面积之间的关系,并说明理由.
(2)园林小路,曲径通幽,如图2所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米,内圈的所有三角形的面积之和是b平方米,这条小路一共占地多少平方米?

答案：
解：（1）$\triangle ABC$与$\triangle AEG$面积相等.
理由：过点$C$作$CM\perp AB$于$M$，过点$G$作$GN\perp EA$交$EA$的延长线于$N$，则$\angle AMC=\angle ANG = 90^{\circ},\because$四边形$ABDE$和四边形$ACFG$都是正方形，$\therefore \angle BAE=\angle CAG = 90^{\circ},AB = AE,AC = AG,\because \angle BAE+\angle CAG+\angle BAC+\angle EAG = 360^{\circ},\therefore \angle BAC+\angle EAG = 180^{\circ},\because \angle EAG+\angle GAN = 180^{\circ},\therefore \angle BAC=\angle GAN$，在$\triangle ACM$和$\triangle AGN$中，$\begin{cases}\angle MAC=\angle NAG\\\angle AMC=\angle ANG\\AC = AG\end{cases}$，$\therefore \triangle ACM\cong \triangle AGN,\therefore CM = GN$. $\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CM,S_{\triangle AEG}=\frac{1}{2}AE\cdot GN,\therefore S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AEG}$
（2）由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和，$\therefore$这条小路的面积为$(a + 2b)$平方米.