《2025年假期新思维七年级数学北师大版》

1. 三角形的有关概念
(1) 定义: 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形.
注意: 由三角形的定义可知, 三角形有三个特征: ①三条线段; ②不在同一直线上; ③首尾顺次连接, 这是识别三角形的依据.
(2) 数三角形个数的方法: ①按图形形成的过程(即重新画一遍图形, 按照三角形形成的先后顺序去数); ②按大小顺序; ③可从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数; ④先固定一个顶点, 变换另两个顶点来数.

答案： 1. 三角形

2. 三角形的分类
(1) 按边分类
三角形$\begin{cases}不等边三角形\\等腰三角形\begin{cases}腰与底不相等的等腰三角形\\腰与底相等的等边三角形\end{cases} \end{cases}$
(2) 按角分类
三角形$\begin{cases}直角三角形\\斜三角形\begin{cases}锐角三角形\\钝角三角形\end{cases} \end{cases}$
注意: 边和角都特殊的三角形(既等腰又直角), 叫做______.

答案： 2. 等腰直角三角形

3. 三角形三边的关系
(1) 两边之和______第三边, 两边之差______第三边.
(2) 三边关系的依据是: 两点之间线段______.
(3) 判断三条线段能否构成三角形的方法: 只要满足较小的两条线段之和______第三条线段, 便可构成三角形; 若不满足, 则不能构成三角形.
(4) 三角形第三边的取值范围是: 两边之差______第三边______两边之和.

答案： 3.
(1) 大于 小于
(2) 最短
(3) 大于
(4) ＜ ＜

4. 三角形的高
(1) 定义: 从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线, ______和______之间的线段叫做三角形的高线, 简称三角形的高.
(2) 性质: 如图, 若$AD是\triangle ABC$的高, 则$\angle ADC= $______.

(3) 三角形三条高线交点的位置
①锐角三角形三条高线的交点在三角形的______.
②直角三角形三条高线的交点是______.
③钝角三角形三条高线的交点在三角形的______.

答案： 4.
(1) 顶点 垂足
(2) $ 90^{\circ} $ 
(3) ① 内部 ② 直角顶点 ③ 外部

5. 三角形的中线
(1) 定义: 在三角形中, 连接一个顶点与它对边的______的线段, 叫做这个三角形的中线, 三角形三条中线的交点叫做______.
(2) ①性质: 如图, 若$AD是\triangle ABC$的中线, 则$BD= $______.
②三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分, 即若$AD是\triangle ABC$的中线, 即$S_{\triangle CAD}= $______$=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$.

答案： 5.
(1) 中点 三角形的重心
(2) ① $ DC $ ② $ S_{\triangle ADB} $

6. 三角形的角平分线
(1) 定义: 在三角形中, 一个内角的平分线与它的对边相交, 则这个角的______叫做三角形的角平分线.
(2) 性质: 如图, 若$AD是\triangle ABC$的角平分线, 则有$\angle 1= $______$=$______.

答案： 6.
(1) 顶点与交点之间的线段
(2) $ ∠2 $ $ \frac{1}{2}∠BAC $

7. 三角形的稳定性
三角形具有______, 四边形具有______. 在工程建筑中为使建筑物稳定常采用______结构, 而银行的活动门都是用______结构.

答案： 7. 稳定性 不稳定性 三角形 四边形

8. 三角形的内角
三角形的内角和定理: ______.

答案： 8. 三角形的内角和等于 $ 180^{\circ} $

9. 全等形的概念
能够______的两个图形叫做全等形. 平移、翻折、旋转前后的图形全等.

答案： 9. 完全重合

10. 全等三角形
(1) 定义: 能够______的两个三角形叫做全等三角形.
(2) 对应元素: 两个全等三角形重合时, 互相重合的顶点叫做______, 互相重合的边叫做______, 互相重合的角叫做______.
(3) 表示方法: $\triangle ABC和\triangle DEF$全等记作______.(通常要求把表示对应顶点的字母写在对应的位置上)
(4) 性质: 全等三角形的对应边______, 对应角______.

答案： 10.
(1) 完全重合
(2) 对应点 对应边 对应角
(3) $ \triangle ABC \cong \triangle DEF $ 
(4) 相等 相等

11. 全等三角形的判定方法
(1) 判定$1$: 三边对应______的两个三角形全

等

, 可以简写成: ______.
(2) 判定$2$: ______的两个三角形全等, 可以简写成: $SAS$.
(3) 判定$3$: ______的两个三角形全等, 可以简写成: $AAS$.
(4) 判定$4$: ______的两个三角形全等, 可以简写成: $ASA$.
(5) 判定$5$: ______的两个直角三角形全等, 可以简写成: $HL$.

答案： 11.
(1) 相等 $ SSS $ 
(2) 两边和它们的夹角分别相等
(3) 两角和其中一角的对边分别相等
(4) 两角和它们的夹边分别相等
(5) 一条直角边和斜边对应相等

12. 角平分线
(1) 角平分线性质定理: 角平分线上的点到这个角两边的距离______.
(2) 逆定理: 到一个角两边的距离相等的点在______.

答案： 12.
(1) 相等
(2) 这个角的平分线上

13. 尺规作图
(1) 作一个角等于已知角
已知: $\angle AOB$
求作: $\angle A'O'B'$, 使$\angle A'O'B'= \angle AOB$

作法: ①以点$O$为圆心, ______为半径画弧, 分别交$OA$,$OB于点C$,$D$;
②画一条射线$O'A'$, 以点______为圆心, ______长为半径画弧, 交$O'A'于点C'$.
③以点______为圆心, ______长为半径画弧, 与第②步中所画的弧相交于点$D'$;
④过点$D'画射线O'B'$, 则$\angle A'O'B'= \angle AOB$.
注意: 明确三次画弧的圆心、半径.
(2) 作已知角的平分线
已知: $\angle AOB$
求作: $\angle AOB$的平分线

作法: ①以点______为圆心, ______为半径画弧, 交$OA于点M$, 交$OB于点N$.
②分别以点______为圆心, ______的长为半径画弧. 两弧在$\angle AOB的内部相交于点C$.
③画射线$OC$, 射线$OC$为所求.

答案： 13.
(1) ① 任意长 ② $ O' $ $ OC $ ③ $ C' $ $ CD $ 
(2) ① $ O $ 适当长 ② $ M $，$ N $ 大于 $ \frac{1}{2}MN $