《2025年假期新思维七年级数学北师大版》

19. (8分)如图(本题的4个图形中的长方形均一致,长为a,宽为b)：
在图①中,将线段$A_1A_2$向右平移1个单位得到$B_1B_2$,得$A_1A_2B_2B_1$,在图②中将折线$A_1A_2A_3$向右平移1个单位得到$B_1B_2B_3$,得$A_1A_2A_3B_3B_2B_1$。
(1)在图③中,请你类似设计一个有两个折点的线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形；
(2)请你分别写出三个图中除去阴影部分后的剩余面积：$S_1 = $______,$S_2 = $______,$S_3 = $______；
(3)探究：图④为一块长方形草地,有一条小路(小路任何地方水平宽度均是1个单位),求：空白部分草地面积。

答案：
19. 解：（1）如图所示：

（2）$S_{1} = ab - b$，$S_{2} = ab - b$，$S_{3} = ab - b$。
（3）$ab - b$。
理由：将右边草坪向左平移一个单位就可以得到一个水平方向边长为$(a - 1)$，竖直方向边长为$b$的长方形草坪。

20. (8分)如图,A、B是人工湖岸上的两点,从点A看点B,测得$∠BAC = 60^{\circ}$,现在过A、B两点有两条互相平行的道路$l_1和l_2$,从$l_1$上的点C经点E到$l_2$上的点D修一条公路,把$l_1与l_2$连起来,如果$∠ACE = 150^{\circ}$,$∠BDE = 100^{\circ}$,你能求出$∠ABD$的度数吗？$∠E$呢？

答案： 解：$\because l_{1} // l_{2}$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC + \angle ABD = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore \angle ABD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$。
过点$E$作$EF // l_{1}$，
$\because l_{1} // l_{2}$，$\therefore EF // l_{2}$。
$\because \angle ACE = 150^{\circ}$，
$\therefore \angle ACE + \angle CEF = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore \angle CEF = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$。
$\because \angle BDE = 100^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE + \angle FED = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore \angle FED = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$。
$\therefore \angle CED = \angle CEF + \angle FED = 30^{\circ} + 80^{\circ} = 110^{\circ}$。
答：$\angle ABD$的度数为$120^{\circ}$，$\angle E$的度数为$110^{\circ}$。

21. (7分)如图,GH分别交CD于点E,F,$∠AEF = ∠EFD$。
(1)试写出$AB // CD$的依据；
(2)若ME是$∠AEF$的平分线,FN是$∠EFD$的平分线,则EM,FN平行吗？若平行,请说明理由。

答案： 21. 解：（1）$\because \angle AEF = \angle EFD$，
$\therefore AB // CD$（内错角相等，两直线平行）。
（2）$EM // FN₌$。
理由：$\because ME$是$\angle AEF$的平分线，$FN$是$\angle EFD$的平分线，
$\therefore \angle MEF = \frac{1}{2}\angle AEF$，$\angle NFE = \frac{1}{2}\angle EFD$，₌
$\because \angle AEF = \angle EFD$，$\therefore \angle MEF = \angle NFE$，
$\therefore EM // FN$（内错角相等，两直线平行）。