《2025年假期新思维七年级数学北师大版》

1. 幂的运算
(1) 同底数幂的乘法法则: 同底数幂相乘, 底数不变, 指数相加. 用字母表示为: $a ^ { m } \cdot a ^ { n } = a ^ { m + n }$(m, n 都是正整数).
注意: 底数可以是多项式或单项式. 如: $(a + b)^2 \cdot (a + b)^3 = (a + b)^5$.
(2) 幂的乘方法则: 幂的乘方, 底数不变, 指数相乘. 用字母表示为: $( a ^ { m } ) ^ { n } = a ^ { m n }$(m, n 都是正整数). 如: $(-3^5)^2 = 3^{10}$.
幂的乘方法则可以逆用: 即$a ^ { m n } = ( a ^ { m } ) ^ { n } = ( a ^ { n } ) ^ { m }$, 如: $4^6 = (4^2)^3 = (4^3)^2$.
(3) 积的乘方法则: 积的乘方, 等于各因数乘方的积. 用字母表示为: $( a b ) ^ { n } = a ^ { n } b ^ { n }$(n 是正整数). 如: $(-2x^3y^2z)^5 = (-2)^5 \cdot (x^3)^5 \cdot (y^2)^5 \cdot z^5 = -32x^{15}y^{10}z^5$.
(4) 同底数幂的除法法则: 同底数幂相除, 底数不变, 指数相减. 用字母表示为: $a ^ { m } ÷ a ^ { n } = a ^ { m - n }$$(a \neq 0, m, n$ 都是正整数, 且 $m ＞ n)$. 如: $(ab)^4 ÷ (ab) = (ab)^3 = a^3b^3$.
(5) 零次幂: 任何不等于零的数的零次幂等于1. 用字母表示为: $a ^ { 0 } = 1 ( a \neq 0 )$.

答案： 1.
(1) 相加 $a ^ { m } \cdot a ^ { n } = a ^ { m + n }$
(2) 相乘 $( a ^ { m } ) ^ { n } = a ^ { m n }$ $a ^ { m n } = ( a ^ { m } ) ^ { n } = ( a ^ { n } ) ^ { m }$
(3) 积 $( a b ) ^ { n } = a ^ { n } b ^ { n }$
(4) 相减 $a ^ { m } ÷ a ^ { n } = a ^ { m - n }$
(5) 1 $a ^ { 0 } = 1 ( a \neq 0 )$

2. 单项式、多项式的乘法运算
(1) 单项式与单项式相乘: 把它们的系数____, 相同字母的指数____, 对于只在一个单项式里含有的字母, 则连同它的指数作为____.
(2) 单项式乘以多项式: 就是用单项式去乘多项式的每一项, 再把所得的积____, 即 $m(a + b + c) = ma + mb + mc(m, a, b, c$ 都是单项式).
(3) 多项式与多项式相乘: 用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项, 再把所得的积____.
(4) 平方差公式: ____.
注意: 平方差公式展开只有两项.
公式特征: 左边是两个二项式相乘, 并且这两个二项式中有一项____, 另一项____. 右边是相同项的平方____相反项的平方.
(5) 完全平方公式: ____.
完全平方公式的口诀: 首平方, 尾平方, 首尾 2 倍中间放, 符号和前一个样.
公式的变形使用: ① $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$; $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$; $(-a - b)^2 = [-(a + b)]^2 = (a + b)^2$; $(-a + b)^2 = [-(a - b)]^2 = (a - b)^2$.
② 三项式的完全平方公式: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.
(6) 单项式的除法法则: 单项式相除, 把系数、同底数幂分别____, 作为商的因式, 对于只在被除式里含有的字母, 则连同它的____作为商的一个因式.
注意: 首先确定结果的系数 (即系数相除), 然后同底数幂相除, 如果只在被除式里含有的字母, 则连同它的指数作为商的一个因式. 如: $-7a^2b^4m ÷ 49a^2b = -\frac{1}{7}b^3m$.
(7) 多项式除以单项式的法则: 多项式除以单项式, 先把这个多项式的每一项除以这个单项式, 再把所得的商____. 即: $(am + bm + cm) ÷ m = am ÷ m + bm ÷ m + cm ÷ m = a + b + c$.

答案： 2.
(1) 相乘 相加 积的一个因式
(2) 相加
(3) 相加
(4) $( a + b ) ( a - b ) = a ^ { 2 } - b ^ { 2 }$ 完全相同 互为相反数 减去
(5) $( a \pm b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } \pm 2 a b + b ^ { 2 }$
(6) 相除 指数
(7) 相加