《2025年假期新思维七年级数学北师大版》

21. (9 分) 2018 年春季, 某中学在美化校园的活动中, 联系了一家花草公司, 该公司仅有某种花草草坪 $130 m^2$, 校长担心不够用, 于是让八年级 (1) 班学生实地测量, 并进行计算, 以便确定是否购买. 八年级 (1) 班抽了两位同学测得的结果是: 这是一块边长为 $m = 13.2 m$ 的正方形场地, 准备在四个角落各建一个边长为 $n = 3.4 m$ 的正方形喷水池, 剩余的部分铺成绿地. 请你算一算, 若购买 $130 m^2$ 的草坪, 够不够铺这块地?

答案： 解: 依题意得 $m ^ { 2 } - 4 n ^ { 2 } = m ^ { 2 } - ( 2 n ) ^ { 2 } = ( m + 2 n ) \cdot ( m - 2 n )$.
当 $m = 13.2$，$n = 3.4$ 时，原式 $ = ( 13.2 + 6.8 ) × ( 13.2 - 6.8 ) = 20 × 6.4 = 128$.
因为 $130 ＞ 128$，所以购买 $130 m ^ { 2 }$ 的草坪够铺这块地.

22. (9 分) 符号 $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} $ 称为二阶行列式, 规定它的运算法则为 $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ 例如: $\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 7 \end{vmatrix} = 3 × 7 - 4 × 5 = 21 - 20 = 1$. 请你根据阅读材料化简下面的二阶行列式: $\begin{vmatrix} 2a - 1 & 3a + 5 \\ a - 5 & 2a + 1 \end{vmatrix} $, 并求当 $a = -5$ 时, 该二阶行列式的值.

答案： 解: $ \begin{vmatrix}2 a - 1 & 3 a + 1 \\ a - 5 & 2 a + 5\end{vmatrix} = ( 2 a - 1 ) ( 2 a + 1 ) - ( a - 5 ) ( 3 a + 5 ) = 4 a ^ { 2 } - 1 - ( 3 a ^ { 2 } - 15 a + 5 a - 25 ) = 4 a ^ { 2 } - 1 - 3 a ^ { 2 } + 15 a - 5 a + 25 = a ^ { 2 } + 10 a + 24$.
当 $a = - 5$ 时，原式 $ = ( - 5 ) ^ { 2 } + 10 × ( - 5 ) + 24 = 25 - 50 + 24 = - 1$.

23. (12 分) (1) 计算: $2018^2 - 2017^2 + 2016^2 - 2015^2 + 2014^2 - 2013^2 + 2012^2 - 2011^2$;
(2) 无论 $x$ 和 $y$ 取任何数时, 多项式 $x^2 + y^2 + 2xy + 3$ 的值一定是正数吗? 请说明理由.

答案： 解:
(1) 原式 $ = ( 2018 + 2017 )(2018 - 2017) + ( 2016 + 2015 )( 2016 - 2015 ) + ( 2014 + 2013 )( 2014 - 2013 ) + ( 2012 + 2011 )( 2012 - 2011 )$
$ = 2018 + 2017 + 2016 + 2015 + 2014 + 2013 + 2012 + 2011 = 16116$；
(2) 理由: $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 x y + 3 = ( x + y ) ^ { 2 } + 3$.
因为 $( x + y ) ^ { 2 } \geq 0$，所以 $( x + y ) ^ { 2 } + 3 ＞ 0$，即 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 x y + 3 ＞ 0$.
所以无论 $x$ 和 $y$ 取任何数，多项式 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 x y + 3$ 的值一定是正数.