《2025年中学生世界八年级数学上册沪教版五四制》

16. (1)填写下表：
|$a$|…|0.01|1|100|10000|1000000|…|
|$\sqrt{a}$|…|0.1|1|10|100|1000|…|
(2)观察上表,请运用你发现的规律解下列问题：已知$\sqrt{1.43}\approx 1.196$,求下列各数的算术平方根：0.0143、14300.$\sqrt{0.0143} \approx 0.1196$，$\sqrt{14300} \approx 119.6$

答案： 【解析】：
(1) 对于表格的填写，我们需要对给定的数$a$求其算术平方根$\sqrt{a}$。
当$a = 0.01$时，$\sqrt{0.01} = 0.1$
当$a = 1$时，$\sqrt{1} = 1$
当$a = 100$时，$\sqrt{100} = 10$
当$a = 10000$时，$\sqrt{10000} = 100$
当$a = 1000000$时，$\sqrt{1000000} = 1000$
(2) 观察表格，我们可以发现被开方数的小数点每向左或向右移动两位，其算术平方根的结果就相应地向左或向右移动一位。
已知$\sqrt{1.43} \approx 1.196$，
对于$0.0143$，小数点向左移动了两位，所以其平方根应该是$1.196 ÷ 10 = 0.1196$，即$\sqrt{0.0143} \approx 0.1196$
对于$14300$，小数点向右移动了四位，所以其平方根应该是$1.196 × 100 = 119.6$，即$\sqrt{14300} \approx 119.6$
【答案】：
(1)
| $a$ | … | 0.01 | 1 | 100 | 10000 | 1000000 | … |
|-----------|---|------|------|------|-------|---------|---|
| $\sqrt{a}$| … | 0.1 | 1 | 10 | 100 | 1000 | … |
(2) $\sqrt{0.0143} \approx 0.1196$，$\sqrt{14300} \approx 119.6$

17. 先阅读,再填空：
问题：$\sqrt{90}$的整数部分是什么？小数部分是什么？
解：$\because 9^{2}= 81$,$10^{2}= 100$,而$81＜90＜100$,$\therefore 9＜\sqrt{90}＜10$,$\therefore \sqrt{90}$的整数部分是9,小数部分是$\sqrt{90}-9$.
(1)$\sqrt{13}$的整数部分是3,小数部分是$\sqrt{13}-3$；
(2)$\sqrt{21}$的整数部分是4,小数部分是$\sqrt{21}-4$；
(3)若$\sqrt{5}$的整数部分记为a,小数部分记为$b$,则$a+b= $$\sqrt{5}$,$b-2a= $$\sqrt{5}-6$.

答案： 【解析】：
本题主要考察平方根的性质以及估算平方根的整数和小数部分。
(1) 对于$\sqrt{13}$，我们需要找到两个完全平方数，使得13位于它们之间。
由于$3^2 = 9$且$4^2 = 16$，所以有$9 ＜ 13 ＜ 16$。
根据平方根的单调性，我们可以得出$3 ＜ \sqrt{13} ＜ 4$。
因此，$\sqrt{13}$的整数部分是3，小数部分是$\sqrt{13} - 3$。
(2) 对于$\sqrt{21}$，同样需要找到两个完全平方数，使得21位于它们之间。
由于$4^2 = 16$且$5^2 = 25$，所以有$16 ＜ 21 ＜ 25$。
根据平方根的单调性，我们可以得出$4 ＜ \sqrt{21} ＜ 5$。
因此，$\sqrt{21}$的整数部分是4，小数部分是$\sqrt{21} - 4$。
(3) 对于$\sqrt{5}$，我们需要找到两个完全平方数，使得5位于它们之间。
由于$2^2 = 4$且$3^2 = 9$，所以有$4 ＜ 5 ＜ 9$。
根据平方根的单调性，我们可以得出$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$。
因此，$\sqrt{5}$的整数部分$a = 2$，小数部分$b = \sqrt{5} - 2$。
接下来，计算$a + b$和$b - 2a$：
$a + b = 2 + (\sqrt{5} - 2) = \sqrt{5}$
$b - 2a = (\sqrt{5} - 2) - 2 × 2 = \sqrt{5} - 6$
【答案】：
(1) 3；$\sqrt{13} - 3$
(2) 4；$\sqrt{21} - 4$
(3) $\sqrt{5}$；$\sqrt{5} - 6$

18. 化简与求值：
(1)$\sqrt[3]{-216}$； (2)$-\sqrt[3]{-\frac{1}{64}}$； (3)$\sqrt[3]{\frac{124}{125}-1}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查立方根的计算。
对于形如$\sqrt[3]{a}$的表达式，需要找到一个数$b$，使得$b^3 = a$。
(1) 对于$\sqrt[3]{-216}$，需要找到一个数，其三次方等于-216。
(2) 对于$-\sqrt[3]{-\frac{1}{64}}$，首先注意到负号在立方根之外，因此可以先计算$\sqrt[3]{-\frac{1}{64}}$，再取其相反数，需要找到一个数，其三次方等于$-\frac{1}{64}$。
(3) 对于$\sqrt[3]{\frac{124}{125}-1}$，首先计算分数内的减法，然后再求其立方根，需要找到一个数，其三次方等于$\frac{124}{125}-1$的结果。
【答案】：
(1) 解：
因为$(-6)^3 = -216$，
所以$\sqrt[3]{-216} = -6$。
(2) 解：
因为$\left(-\frac{1}{4}\right)^3 = -\frac{1}{64}$，
所以$\sqrt[3]{-\frac{1}{64}} = -\frac{1}{4}$，
再取其相反数，即$-\sqrt[3]{-\frac{1}{64}} = \frac{1}{4}$。
(3) 解：
首先计算分数内的减法：
$\frac{124}{125} - 1 = -\frac{1}{125}$
因为$\left(-\frac{1}{5}\right)^3 = -\frac{1}{125}$，
所以$\sqrt[3]{\frac{124}{125}-1} = -\frac{1}{5}$。

19. 已知3既是$x-1$的算术平方根,又是$x-2y+1$的立方根,求$x^{2}-y^{2}$的平方根.

答案： 【解析】：
本题主要考查算术平方根和立方根的定义以及代数式的求值。
首先，根据题目条件，3是$x-1$的算术平方根，即有：
$\sqrt{x - 1} = 3$，
平方两边得：
$x - 1 = 9$，
解得：
$x = 10$。
接着，3又是$x-2y+1$的立方根，即有：
$\sqrt[3]{x - 2y + 1} = 3$，
立方两边得：
$x - 2y + 1 = 27$，
将$x = 10$代入上式，得：
$10 - 2y + 1 = 27$，
解得：
$y = -8$。
最后，我们需要求$x^{2} - y^{2}$的平方根。
将$x = 10$和$y = -8$代入，得：
$x^{2} - y^{2} = 10^{2} - (-8)^{2} = 100 - 64 = 36$，
所以，$x^{2} - y^{2}$的平方根为：
$\pm \sqrt{36} = \pm 6$。
【答案】：
$\pm 6$。