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14. 解方程：$(x^{2}+x)^{2}-8(x^{2}+x)+12= 0.$
答案：
解：设$y = x^{2} + x$，则原方程可化为$y^{2} - 8y + 12 = 0$。
因式分解，得$(y - 2)(y - 6) = 0$。
所以$y - 2 = 0$或$y - 6 = 0$，解得$y_{1} = 2$，$y_{2} = 6$。
当$y = 2$时，$x^{2} + x = 2$，即$x^{2} + x - 2 = 0$。
因式分解，得$(x + 2)(x - 1) = 0$，解得$x_{1} = -2$，$x_{2} = 1$。
当$y = 6$时，$x^{2} + x = 6$，即$x^{2} + x - 6 = 0$。
因式分解，得$(x + 3)(x - 2) = 0$，解得$x_{3} = -3$，$x_{4} = 2$。
综上，原方程的解为$x_{1} = -2$，$x_{2} = 1$，$x_{3} = -3$，$x_{4} = 2$。
因式分解，得$(y - 2)(y - 6) = 0$。
所以$y - 2 = 0$或$y - 6 = 0$，解得$y_{1} = 2$，$y_{2} = 6$。
当$y = 2$时，$x^{2} + x = 2$，即$x^{2} + x - 2 = 0$。
因式分解，得$(x + 2)(x - 1) = 0$，解得$x_{1} = -2$，$x_{2} = 1$。
当$y = 6$时，$x^{2} + x = 6$，即$x^{2} + x - 6 = 0$。
因式分解，得$(x + 3)(x - 2) = 0$，解得$x_{3} = -3$，$x_{4} = 2$。
综上，原方程的解为$x_{1} = -2$，$x_{2} = 1$，$x_{3} = -3$，$x_{4} = 2$。
15. 已知$(x^{2}+y^{2})^{2}-(x^{2}+y^{2})-12= 0$,求$x^{2}+y^{2}$的值.
答案：
【解析】：
本题主要考查一元二次方程的解法，特别是换元法的应用。
首先，我们将$x^{2} + y^{2}$看作一个整体，记作$A$，即令$A = x^{2} + y^{2}$。
这样，原方程$(x^{2}+y^{2})^{2}-(x^{2}+y^{2})-12= 0$就可以转化为$A^{2} - A - 12 = 0$。
接下来，我们解这个关于$A$的一元二次方程。
这是一个标准形式的一元二次方程，可以通过因式分解或者求根公式来解。
这里，我们选择因式分解的方法，得到$(A - 4)(A + 3) = 0$。
解这个方程，我们得到$A = 4$或$A = -3$。
最后，我们需要根据$x^{2} + y^{2}$的几何意义（它表示的是原点到点$(x, y)$的距离的平方，因此必须是非负的）来判断$A$的取值。
由于$x^{2} + y^{2}$必然是非负的，所以我们舍去$A = -3$这个解，只保留$A = 4$。
因此，$x^{2} + y^{2} = 4$。
【答案】：
$x^{2} + y^{2} = 4$
本题主要考查一元二次方程的解法，特别是换元法的应用。
首先，我们将$x^{2} + y^{2}$看作一个整体，记作$A$，即令$A = x^{2} + y^{2}$。
这样，原方程$(x^{2}+y^{2})^{2}-(x^{2}+y^{2})-12= 0$就可以转化为$A^{2} - A - 12 = 0$。
接下来，我们解这个关于$A$的一元二次方程。
这是一个标准形式的一元二次方程，可以通过因式分解或者求根公式来解。
这里，我们选择因式分解的方法，得到$(A - 4)(A + 3) = 0$。
解这个方程，我们得到$A = 4$或$A = -3$。
最后，我们需要根据$x^{2} + y^{2}$的几何意义（它表示的是原点到点$(x, y)$的距离的平方，因此必须是非负的）来判断$A$的取值。
由于$x^{2} + y^{2}$必然是非负的，所以我们舍去$A = -3$这个解，只保留$A = 4$。
因此，$x^{2} + y^{2} = 4$。
【答案】：
$x^{2} + y^{2} = 4$
16. 若一个等腰三角形的两边长是方程$x^{2}-6x+8= 0$的两根,求出此三角形的周长.
答案：
【分析】：
本题主要考查一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，首先，我们需要解出一元二次方程$x^{2} - 6x + 8 = 0$的根，然后根据等腰三角形的性质，确定可能的边长组合，最后计算三角形的周长，此题涉及到一元二次方程的求解，等腰三角形的性质以及三角形三边关系，需要综合运用这些知识点进行解答。
【解答】：
首先，我们解一元二次方程$x^{2} - 6x + 8 = 0$，
因为$(x-4)(x-2)=0$，
所以方程的解为$x_{1} = 4$，$x_{2} = 2$。
接下来，我们根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：
若腰长为$2$，底边长为$4$，由三角形的三边关系知，任意两边之和大于第三边，这里$2+2=4$，并不大于第三边，所以不能构成三角形，此情况舍去；
若腰长为$4$，底边长为$2$，由三角形的三边关系知，这里$4+4＞2$且$4+2＞4$，满足三角形的三边关系，所以能构成三角形，
此时，等腰三角形的周长为$4+4+2=10$。
所以此等腰三角形的周长为$10$。
本题主要考查一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，首先，我们需要解出一元二次方程$x^{2} - 6x + 8 = 0$的根，然后根据等腰三角形的性质，确定可能的边长组合，最后计算三角形的周长，此题涉及到一元二次方程的求解，等腰三角形的性质以及三角形三边关系，需要综合运用这些知识点进行解答。
【解答】：
首先，我们解一元二次方程$x^{2} - 6x + 8 = 0$，
因为$(x-4)(x-2)=0$，
所以方程的解为$x_{1} = 4$，$x_{2} = 2$。
接下来，我们根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：
若腰长为$2$，底边长为$4$，由三角形的三边关系知，任意两边之和大于第三边，这里$2+2=4$，并不大于第三边，所以不能构成三角形，此情况舍去；
若腰长为$4$，底边长为$2$，由三角形的三边关系知，这里$4+4＞2$且$4+2＞4$，满足三角形的三边关系，所以能构成三角形，
此时，等腰三角形的周长为$4+4+2=10$。
所以此等腰三角形的周长为$10$。
思维与拓展 13
设$(2025x)^{2}-2024×2026x-1= 0$较大的根为m,方程$2025x^{2}+2026x+1= 0$的较小根为n,求$m-n$的值.
设$(2025x)^{2}-2024×2026x-1= 0$较大的根为m,方程$2025x^{2}+2026x+1= 0$的较小根为n,求$m-n$的值.
答案：
【解析】：
首先，我们分别求解两个方程。
对于方程$(2025x)^{2}-2024×2026x-1=0$，
我们可以将其转化为$(2025x)^{2}-(2025-1)(2025+1)x-1=0$，
即$2025^{2}x^{2}-(2025^{2}-1)x-1=0$。
通过因式分解，我们得到$(2025^{2}x + 1)(x - 1) = 0$，
解得$x_{1} = 1$，$x_{2} = -\frac{1}{2025^{2}}$。
由于题目要求较大的根为$m$，所以$m = 1$。
接着，我们求解方程$2025x^{2}+2026x+1=0$。
同样通过因式分解，我们得到$(2025x + 1)(x + 1) = 0$，
解得$x_{1} = -\frac{1}{2025}$，$x_{2} = -1$。
由于题目要求较小的根为$n$，所以$n = -1$。
最后，我们计算$m-n$的值，即$1-(-1)=2$。
【答案】：
$m-n=2$。
首先，我们分别求解两个方程。
对于方程$(2025x)^{2}-2024×2026x-1=0$，
我们可以将其转化为$(2025x)^{2}-(2025-1)(2025+1)x-1=0$，
即$2025^{2}x^{2}-(2025^{2}-1)x-1=0$。
通过因式分解，我们得到$(2025^{2}x + 1)(x - 1) = 0$，
解得$x_{1} = 1$，$x_{2} = -\frac{1}{2025^{2}}$。
由于题目要求较大的根为$m$，所以$m = 1$。
接着，我们求解方程$2025x^{2}+2026x+1=0$。
同样通过因式分解，我们得到$(2025x + 1)(x + 1) = 0$，
解得$x_{1} = -\frac{1}{2025}$，$x_{2} = -1$。
由于题目要求较小的根为$n$，所以$n = -1$。
最后，我们计算$m-n$的值，即$1-(-1)=2$。
【答案】：
$m-n=2$。
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