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11. 将下列各式分母有理化:
(1)$\sqrt {\frac {1}{2}}$; (2)$\frac {\sqrt {21}}{\sqrt {6}}$; (3)$\frac {\sqrt {12}}{2\sqrt {5}}$;
(4)$\frac {5\sqrt {3}}{3\sqrt {5}}$; (5)$\frac {x}{\sqrt {x+1}}$; (6)$\frac {\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}}$.
(1)$\sqrt {\frac {1}{2}}$; (2)$\frac {\sqrt {21}}{\sqrt {6}}$; (3)$\frac {\sqrt {12}}{2\sqrt {5}}$;
(4)$\frac {5\sqrt {3}}{3\sqrt {5}}$; (5)$\frac {x}{\sqrt {x+1}}$; (6)$\frac {\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}}$.
答案：
【解析】：
本题主要考查二次根式的有理化。对于形如$\frac{a}{\sqrt{b}}$的式子，我们可以通过乘以$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$来实现分母有理化。
(1) 对于$\sqrt{\frac{1}{2}}$，我们可以将其写为$\frac{1}{\sqrt{2}}$，然后乘以$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$得到$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2) 对于$\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{6}}$，我们可以乘以$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$得到$\frac{\sqrt{21} × \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{126}}{6} = \frac{\sqrt{2 × 3 × 3 × 7}}{6} = \frac{3\sqrt{14}}{6} = \frac{\sqrt{14}}{2}$。
(3) 对于$\frac{\sqrt{12}}{2\sqrt{5}}$，我们可以乘以$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$得到$\frac{\sqrt{12} × \sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{60}}{10} = \frac{\sqrt{4 × 15}}{10} = \frac{2\sqrt{15}}{10} = \frac{\sqrt{15}}{5}$。
(4) 对于$\frac{5\sqrt{3}}{3\sqrt{5}}$，我们可以乘以$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$得到$\frac{5\sqrt{3} × \sqrt{5}}{15} = \frac{5\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{3}$。
(5) 对于$\frac{x}{\sqrt{x+1}}$，我们可以乘以$\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}$得到$\frac{x\sqrt{x+1}}{x+1}$。
(6) 对于$\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}}$，我们可以乘以$\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}}$得到$\frac{\sqrt{(x+1)(x-1)}}{x-1} = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}$。
【答案】：
(1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2) $\frac{\sqrt{14}}{2}$
(3) $\frac{\sqrt{15}}{5}$
(4) $\frac{\sqrt{15}}{3}$
(5) $\frac{x\sqrt{x+1}}{x+1}$
(6) $\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}$
本题主要考查二次根式的有理化。对于形如$\frac{a}{\sqrt{b}}$的式子，我们可以通过乘以$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$来实现分母有理化。
(1) 对于$\sqrt{\frac{1}{2}}$，我们可以将其写为$\frac{1}{\sqrt{2}}$，然后乘以$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$得到$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2) 对于$\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{6}}$，我们可以乘以$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$得到$\frac{\sqrt{21} × \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{126}}{6} = \frac{\sqrt{2 × 3 × 3 × 7}}{6} = \frac{3\sqrt{14}}{6} = \frac{\sqrt{14}}{2}$。
(3) 对于$\frac{\sqrt{12}}{2\sqrt{5}}$，我们可以乘以$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$得到$\frac{\sqrt{12} × \sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{60}}{10} = \frac{\sqrt{4 × 15}}{10} = \frac{2\sqrt{15}}{10} = \frac{\sqrt{15}}{5}$。
(4) 对于$\frac{5\sqrt{3}}{3\sqrt{5}}$，我们可以乘以$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$得到$\frac{5\sqrt{3} × \sqrt{5}}{15} = \frac{5\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{3}$。
(5) 对于$\frac{x}{\sqrt{x+1}}$，我们可以乘以$\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}$得到$\frac{x\sqrt{x+1}}{x+1}$。
(6) 对于$\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}}$，我们可以乘以$\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}}$得到$\frac{\sqrt{(x+1)(x-1)}}{x-1} = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}$。
【答案】：
(1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2) $\frac{\sqrt{14}}{2}$
(3) $\frac{\sqrt{15}}{5}$
(4) $\frac{\sqrt{15}}{3}$
(5) $\frac{x\sqrt{x+1}}{x+1}$
(6) $\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}$
12. 解方程:$\sqrt {8}\cdot (x-3\sqrt {2})= \sqrt {\frac {1}{2}}$.
答案：
【解析】：
本题主要考查二次根式的运算及一元一次方程的解法。
首先，我们将方程中的各项进行化简，消去根号，然后解方程得到$x$的值。
具体步骤如下：
1. 化简方程中的各项：
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，
$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
2. 将化简后的结果代入原方程，得到：
$2\sqrt{2} \cdot (x - 3\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
3. 展开并化简方程：
$2\sqrt{2}x - 12 = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
4. 移项并合并同类项，得到：
$2\sqrt{2}x = 12 + \frac{\sqrt{2}}{2}$。
5. 两边同时除以$2\sqrt{2}$，解得：
$x = \frac{12 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{2}}$。
6. 化简得：
$x = 3\sqrt{2} + \frac{1}{4}$。
为了与标准答案格式一致，我们可以将其转化为分数形式：
$x=\frac{12\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{12\sqrt{2} + 1}{4}$。
【答案】：
$x = \frac{12\sqrt{2} + 1}{4}$。
本题主要考查二次根式的运算及一元一次方程的解法。
首先，我们将方程中的各项进行化简，消去根号，然后解方程得到$x$的值。
具体步骤如下：
1. 化简方程中的各项：
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，
$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
2. 将化简后的结果代入原方程，得到：
$2\sqrt{2} \cdot (x - 3\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
3. 展开并化简方程：
$2\sqrt{2}x - 12 = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
4. 移项并合并同类项，得到：
$2\sqrt{2}x = 12 + \frac{\sqrt{2}}{2}$。
5. 两边同时除以$2\sqrt{2}$，解得：
$x = \frac{12 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{2}}$。
6. 化简得：
$x = 3\sqrt{2} + \frac{1}{4}$。
为了与标准答案格式一致，我们可以将其转化为分数形式：
$x=\frac{12\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{12\sqrt{2} + 1}{4}$。
【答案】：
$x = \frac{12\sqrt{2} + 1}{4}$。
思维与拓展 11
比较大小:$\sqrt {19}-\sqrt {15}与\sqrt {15}-\sqrt {11}$.
比较大小:$\sqrt {19}-\sqrt {15}与\sqrt {15}-\sqrt {11}$.
答案：
【解析】：
本题主要考察二次根式的性质和运算以及不等式的比较。
为了比较$\sqrt{19} - \sqrt{15}$与$\sqrt{15} - \sqrt{11}$的大小，我们可以采用分子有理化的方法。
首先，我们将两个差式分别进行分子有理化：
$\sqrt{19} - \sqrt{15} = \frac{(\sqrt{19} - \sqrt{15})(\sqrt{19} + \sqrt{15})}{\sqrt{19} + \sqrt{15}} = \frac{19 - 15}{\sqrt{19} + \sqrt{15}} = \frac{4}{\sqrt{19} + \sqrt{15}}$
$\sqrt{15} - \sqrt{11} = \frac{(\sqrt{15} - \sqrt{11})(\sqrt{15} + \sqrt{11})}{\sqrt{15} + \sqrt{11}} = \frac{15 - 11}{\sqrt{15} + \sqrt{11}} = \frac{4}{\sqrt{15} + \sqrt{11}}$
由于$\sqrt{19} + \sqrt{15} ＞ \sqrt{15} + \sqrt{11}$，
因此，$\frac{4}{\sqrt{19} + \sqrt{15}} ＜ \frac{4}{\sqrt{15} + \sqrt{11}}$，
即$\sqrt{19} - \sqrt{15} ＜ \sqrt{15} - \sqrt{11}$。
【答案】：
$\sqrt{19} - \sqrt{15} ＜ \sqrt{15} - \sqrt{11}$
本题主要考察二次根式的性质和运算以及不等式的比较。
为了比较$\sqrt{19} - \sqrt{15}$与$\sqrt{15} - \sqrt{11}$的大小，我们可以采用分子有理化的方法。
首先，我们将两个差式分别进行分子有理化：
$\sqrt{19} - \sqrt{15} = \frac{(\sqrt{19} - \sqrt{15})(\sqrt{19} + \sqrt{15})}{\sqrt{19} + \sqrt{15}} = \frac{19 - 15}{\sqrt{19} + \sqrt{15}} = \frac{4}{\sqrt{19} + \sqrt{15}}$
$\sqrt{15} - \sqrt{11} = \frac{(\sqrt{15} - \sqrt{11})(\sqrt{15} + \sqrt{11})}{\sqrt{15} + \sqrt{11}} = \frac{15 - 11}{\sqrt{15} + \sqrt{11}} = \frac{4}{\sqrt{15} + \sqrt{11}}$
由于$\sqrt{19} + \sqrt{15} ＞ \sqrt{15} + \sqrt{11}$，
因此，$\frac{4}{\sqrt{19} + \sqrt{15}} ＜ \frac{4}{\sqrt{15} + \sqrt{11}}$，
即$\sqrt{19} - \sqrt{15} ＜ \sqrt{15} - \sqrt{11}$。
【答案】：
$\sqrt{19} - \sqrt{15} ＜ \sqrt{15} - \sqrt{11}$
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