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15. 计算:
(1)$\sqrt {12}÷\sqrt {27}×\sqrt {18}$； (2)$(4\sqrt {6}-4\sqrt {\frac {1}{2}}+3\sqrt {8})÷2\sqrt {2}$；
(3)$\sqrt {24}×\sqrt {\frac {1}{3}}-4×\sqrt {\frac {1}{8}}×(1-\sqrt {2})^{0}$； (4)$\frac {x-y}{\sqrt {x}+\sqrt {y}}-\frac {x+y-2\sqrt {xy}}{\sqrt {x}-\sqrt {y}}$.
(1)$\sqrt {12}÷\sqrt {27}×\sqrt {18}$； (2)$(4\sqrt {6}-4\sqrt {\frac {1}{2}}+3\sqrt {8})÷2\sqrt {2}$；
(3)$\sqrt {24}×\sqrt {\frac {1}{3}}-4×\sqrt {\frac {1}{8}}×(1-\sqrt {2})^{0}$； (4)$\frac {x-y}{\sqrt {x}+\sqrt {y}}-\frac {x+y-2\sqrt {xy}}{\sqrt {x}-\sqrt {y}}$.
答案：
(1)解：原式$=\sqrt{12÷27×18}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
(2)解：原式$=4\sqrt{6}÷2\sqrt{2}-4\sqrt{\frac{1}{2}}÷2\sqrt{2}+3\sqrt{8}÷2\sqrt{2}$
$=2\sqrt{3}-4×\frac{\sqrt{2}}{2}÷2\sqrt{2}+3×2\sqrt{2}÷2\sqrt{2}$
$=2\sqrt{3}-1+3=2\sqrt{3}+2$
(3)解：原式$=\sqrt{24×\frac{1}{3}}-4×\frac{\sqrt{2}}{4}×1$
$=\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$
(4)解：原式$=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$
$=(\sqrt{x}-\sqrt{y})-(\sqrt{x}-\sqrt{y})=0$
(1)解：原式$=\sqrt{12÷27×18}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
(2)解：原式$=4\sqrt{6}÷2\sqrt{2}-4\sqrt{\frac{1}{2}}÷2\sqrt{2}+3\sqrt{8}÷2\sqrt{2}$
$=2\sqrt{3}-4×\frac{\sqrt{2}}{2}÷2\sqrt{2}+3×2\sqrt{2}÷2\sqrt{2}$
$=2\sqrt{3}-1+3=2\sqrt{3}+2$
(3)解：原式$=\sqrt{24×\frac{1}{3}}-4×\frac{\sqrt{2}}{4}×1$
$=\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$
(4)解：原式$=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$
$=(\sqrt{x}-\sqrt{y})-(\sqrt{x}-\sqrt{y})=0$
16. 已知x、y为实数,且$y＜\sqrt {x-1}+\sqrt {1-x}+3$,化简:$|y-3|-\sqrt {y^{2}-8y+16}$.
答案：
【解析】：
本题主要考查二次根式有意义的条件，代数式化简求值。
首先，我们需要确定$x$的取值范围，使得$\sqrt{x-1}$和$\sqrt{1-x}$都有意义。
根据二次根式的性质，被开方数需要大于等于0，所以我们有以下不等式组：
$\begin{cases}x - 1 \geq 0 \\1 - x \geq 0\end{cases}$
解这个不等式组，我们得到$x \geq 1$ 和 $x \leq 1$，因此唯一可能的$x$值是$x = 1$。
将$x = 1$代入原不等式$y ＜ \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x} + 3$，
我们得到$y ＜ 3$。
接下来，我们需要化简代数式$|y - 3| - \sqrt{y^2 - 8y + 16}$。
首先，我们注意到$y^2 - 8y + 16$可以写成$(y - 4)^2$，
所以$\sqrt{y^2 - 8y + 16} = \sqrt{(y - 4)^2} = |y - 4|$。
因为$y＜3$，
所以$y-3＜0$，$y-4＜0$，
所以$|y - 3| = 3-y$，$|y - 4| = 4-y$，
因此，原式可以化简为：
$|y - 3| - \sqrt{y^2 - 8y + 16} = (3 - y) - |y - 4| = (3 - y) - (4 - y) = -1$。
【答案】：
$-1$
本题主要考查二次根式有意义的条件，代数式化简求值。
首先，我们需要确定$x$的取值范围，使得$\sqrt{x-1}$和$\sqrt{1-x}$都有意义。
根据二次根式的性质，被开方数需要大于等于0，所以我们有以下不等式组：
$\begin{cases}x - 1 \geq 0 \\1 - x \geq 0\end{cases}$
解这个不等式组，我们得到$x \geq 1$ 和 $x \leq 1$，因此唯一可能的$x$值是$x = 1$。
将$x = 1$代入原不等式$y ＜ \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x} + 3$，
我们得到$y ＜ 3$。
接下来，我们需要化简代数式$|y - 3| - \sqrt{y^2 - 8y + 16}$。
首先，我们注意到$y^2 - 8y + 16$可以写成$(y - 4)^2$，
所以$\sqrt{y^2 - 8y + 16} = \sqrt{(y - 4)^2} = |y - 4|$。
因为$y＜3$，
所以$y-3＜0$，$y-4＜0$，
所以$|y - 3| = 3-y$，$|y - 4| = 4-y$，
因此，原式可以化简为：
$|y - 3| - \sqrt{y^2 - 8y + 16} = (3 - y) - |y - 4| = (3 - y) - (4 - y) = -1$。
【答案】：
$-1$
17. 已知$a= \frac {1}{2+\sqrt {3}}$,求$\frac {1-2a+a^{2}}{a-1}-\frac {\sqrt {a^{2}-2a+1}}{a^{2}-a}$的值.
答案：
【解析】：
本题主要考察二次根式的化简与求值。
首先，对给定的$a$进行分母有理化，然后利用完全平方公式对原式进行化简。
化简步骤如下：
1. 对$a$进行分母有理化：
$a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} × \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$
2. 对原式进行化简：
$\;\;\;\; \frac{1 - 2a + a^{2}}{a - 1} - \frac{\sqrt{a^{2} - 2a + 1}}{a^{2} - a}$
$= \frac{(a - 1)^{2}}{a - 1} - \frac{\sqrt{(a - 1)^{2}}}{a(a - 1)}$
由于$a = 2 - \sqrt{3} ＜ 1$，所以$a - 1 ＜ 0$，
因此，$\sqrt{(a - 1)^{2}} = |a - 1| = 1 - a$，
代入上式得：
$= a - 1 + \frac{1}{a}$
3. 最后，将$a = 2 - \sqrt{3}$代入上述表达式中，得到：
$= 2 - \sqrt{3} - 1 + \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$
$= 1 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3}$
$= 3$
【答案】：
3
本题主要考察二次根式的化简与求值。
首先，对给定的$a$进行分母有理化，然后利用完全平方公式对原式进行化简。
化简步骤如下：
1. 对$a$进行分母有理化：
$a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} × \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$
2. 对原式进行化简：
$\;\;\;\; \frac{1 - 2a + a^{2}}{a - 1} - \frac{\sqrt{a^{2} - 2a + 1}}{a^{2} - a}$
$= \frac{(a - 1)^{2}}{a - 1} - \frac{\sqrt{(a - 1)^{2}}}{a(a - 1)}$
由于$a = 2 - \sqrt{3} ＜ 1$，所以$a - 1 ＜ 0$，
因此，$\sqrt{(a - 1)^{2}} = |a - 1| = 1 - a$，
代入上式得：
$= a - 1 + \frac{1}{a}$
3. 最后，将$a = 2 - \sqrt{3}$代入上述表达式中，得到：
$= 2 - \sqrt{3} - 1 + \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$
$= 1 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3}$
$= 3$
【答案】：
3
18. 先阅读材料,再回答问题:
因为$\sqrt {1^{2}+1}= \sqrt {2}且1＜\sqrt {2}＜2$,所以$\sqrt {1^{2}+1}$的整数部分为1；
因为$\sqrt {2^{2}+2}= \sqrt {6}且2＜\sqrt {6}＜3$,所以$\sqrt {2^{2}+2}$的整数部分为2.
以此类推:$\sqrt {n^{2}+n}$(n为正整数)的整数部分为
因为$\sqrt {1^{2}+1}= \sqrt {2}且1＜\sqrt {2}＜2$,所以$\sqrt {1^{2}+1}$的整数部分为1；
因为$\sqrt {2^{2}+2}= \sqrt {6}且2＜\sqrt {6}＜3$,所以$\sqrt {2^{2}+2}$的整数部分为2.
以此类推:$\sqrt {n^{2}+n}$(n为正整数)的整数部分为
n
,理由是因为$n^{2} ＜ n^{2} + n ＜ (n+1)^{2}$，所以$n ＜ \sqrt{n^{2} + n} ＜ n+1$，故$\sqrt {n^{2}+n}$的整数部分为$n$
.
答案：
【解析】：
本题主要考察平方根的性质以及不等式的运用。
首先，我们考虑$\sqrt {n^{2}+n}$的大小关系。
由于$n^{2} ＜ n^{2} + n$，取平方根得到：
$\sqrt{n^{2}} ＜ \sqrt{n^{2} + n}$
即：
$n ＜ \sqrt{n^{2} + n}$
另一方面，由于$n^{2} + n ＜ (n+1)^{2}$（因为$n(n+1) ＜ (n+1)^{2}$），取平方根得到：
$\sqrt{n^{2} + n} ＜ \sqrt{(n+1)^{2}}$
即：
$\sqrt{n^{2} + n} ＜ n+1$
综合上述两个不等式，我们得到：
$n ＜ \sqrt{n^{2} + n} ＜ n+1$
由此可知，$\sqrt {n^{2}+n}$的整数部分为$n$。
【答案】：
$n$；因为$n^{2} ＜ n^{2} + n ＜ (n+1)^{2}$，所以$n ＜ \sqrt{n^{2} + n} ＜ n+1$，故$\sqrt {n^{2}+n}$的整数部分为$n$。
本题主要考察平方根的性质以及不等式的运用。
首先，我们考虑$\sqrt {n^{2}+n}$的大小关系。
由于$n^{2} ＜ n^{2} + n$，取平方根得到：
$\sqrt{n^{2}} ＜ \sqrt{n^{2} + n}$
即：
$n ＜ \sqrt{n^{2} + n}$
另一方面，由于$n^{2} + n ＜ (n+1)^{2}$（因为$n(n+1) ＜ (n+1)^{2}$），取平方根得到：
$\sqrt{n^{2} + n} ＜ \sqrt{(n+1)^{2}}$
即：
$\sqrt{n^{2} + n} ＜ n+1$
综合上述两个不等式，我们得到：
$n ＜ \sqrt{n^{2} + n} ＜ n+1$
由此可知，$\sqrt {n^{2}+n}$的整数部分为$n$。
【答案】：
$n$；因为$n^{2} ＜ n^{2} + n ＜ (n+1)^{2}$，所以$n ＜ \sqrt{n^{2} + n} ＜ n+1$，故$\sqrt {n^{2}+n}$的整数部分为$n$。
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