《2025年中学生世界八年级数学上册沪教版五四制》

1. 下列式子中,x可取一切实数的是 (C)
A.$\sqrt {x}$；
B.$(\sqrt {x})^{2}$；
C.$\sqrt {x^{2}}$；
D.$\frac {1}{|x|}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次根式有意义的条件以及二次根式的性质。
对于选项A，$\sqrt{x}$，由于根号下必须是非负数，所以$x \geqslant 0$，这限制了$x$不能取负数值，因此A选项错误。
对于选项B，$(\sqrt{x})^{2}$，同样由于根号下必须是非负数，所以$x \geqslant 0$，这也限制了$x$的取值范围，因此B选项错误。
对于选项C，$\sqrt{x^{2}}$，由于任何实数的平方都是非负的，即$x^{2} \geqslant 0$对所有的实数$x$都成立，所以$\sqrt{x^{2}}$对所有的实数$x$都有意义，因此C选项正确。
对于选项D，$\frac{1}{|x|}$，由于分母不能为0，所以$x \neq 0$，这限制了$x$不能取0，因此D选项错误。
【答案】：
C

2. 如果$\sqrt {(x-2)^{2}}= x-2$,那么x的取值范围是 (C)
A.$x＞2$；
B.$x＜2$；
C.$x≥2$；
D.$x≤2$.

答案： 解：因为$\sqrt{a^2} = |a|$，所以$\sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2|$。
已知$\sqrt{(x - 2)^2} = x - 2$，则$|x - 2| = x - 2$。
根据绝对值的性质，当$|a| = a$时，$a \geq 0$，所以$x - 2 \geq 0$，解得$x \geq 2$。
答案：C

3. 如果$\sqrt {a^{2}}= -a$,那么a的取值范围是 (D)
A.$a＞0$；
B.$a＜0$；
C.$a≥0$；
D.$a≤0$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次根式的性质。
根据二次根式的性质，对于任意实数$a$，有$\sqrt{a^{2}} = |a|$。
题目给出$\sqrt{a^{2}} = -a$，因此我们可以得出$|a| = -a$。
根据绝对值的定义，当$a \leq 0$时，$|a| = -a$成立。
因此，我们可以得出$a$的取值范围是$a \leq 0$。
【答案】：
D. $a \leq 0$。

4. 当$x= \frac {3}{2}$时,下列式子无意义的是 (D)
A.$\sqrt {\frac {3}{x-1}}$；
B.$\sqrt {2x-3}$；
C.$\sqrt {1+x^{2}}$；
D.$\sqrt {1-x}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次根式有意义的条件，即被开方数需要大于等于0。
对于选项A：
代入$x = \frac{3}{2}$，得到：
$\sqrt{\frac{3}{\frac{3}{2} - 1}} = \sqrt{\frac{3}{\frac{1}{2}}} = \sqrt{6}$
由于$\sqrt{6}$是一个实数，所以选项A的式子在$x = \frac{3}{2}$时有意义。
对于选项B：
代入$x = \frac{3}{2}$，得到：
$\sqrt{2 × \frac{3}{2} - 3} = \sqrt{3 - 3} = \sqrt{0} = 0$
由于0是一个实数，所以选项B的式子在$x = \frac{3}{2}$时也有意义。
对于选项C：
代入$x = \frac{3}{2}$，得到：
$\sqrt{1 + \left(\frac{3}{2}\right)^{2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$
由于$\frac{\sqrt{13}}{2}$是一个实数，所以选项C的式子在$x = \frac{3}{2}$时也有意义。
对于选项D：
代入$x = \frac{3}{2}$，得到：
$\sqrt{1 - \frac{3}{2}} = \sqrt{-\frac{1}{2}}$
由于$-\frac{1}{2}$小于0，所以$\sqrt{-\frac{1}{2}}$在实数范围内无意义。
【答案】：
D

5. 计算：
(1)$(\sqrt {9})^{2}=$9； (2)$(-5\sqrt {\frac {2}{5}})^{2}=$10；
(3)$(-\sqrt {9})^{2}=$9； (4)$\sqrt {(-5)^{2}}=$5.

答案： 【解析】：
本题主要考查二次根式的性质及其运算。
对于$(\sqrt {a})^{2}$，其结果为$a$；
对于$(-\sqrt {a})^{2}$，其结果也为$a$；
对于$\sqrt {(-a)^{2}}$，需要先计算$(-a)^{2}$，再对结果开方。
(1) $(\sqrt {9})^{2}$
根据二次根式的性质，$(\sqrt {a})^{2} = a$，所以$(\sqrt {9})^{2} = 9$。
(2) $(-5\sqrt {\frac {2}{5}})^{2}$
根据乘方的性质，$(-a)^{2} = a^{2}$，所以$(-5\sqrt {\frac {2}{5}})^{2} = 25 × \frac {2}{5} = 10$。
(3) $(-\sqrt {9})^{2}$
根据二次根式的性质，$(-\sqrt {a})^{2} = a$，所以$(-\sqrt {9})^{2} = 9$。
(4) $\sqrt {(-5)^{2}}$
先计算$(-5)^{2} = 25$，再对25开方，得到$\sqrt {25} = 5$。
【答案】：
(1) $9$
(2) $10$
(3) $9$
(4) $5$

6. 如果$x≥0$,那么$\sqrt {x^{2}}=$$x$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次根式的性质。对于任意实数$x$，其平方$x^2$总是非负的。因此，当我们对$x^2$开平方时，结果应该是$x$的绝对值，即$|x|$。但由于题目已给出条件$x \geq 0$，所以在此条件下，$x$的绝对值就是$x$本身。
【答案】：
$\sqrt{x^{2}} = x$

7. 当$x≤1$时,$\sqrt {x^{2}-2x+1}=$$1 - x$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次根式的性质及其化简。
首先，我们将给定的根式中的表达式进行因式分解，得到：
$x^{2}-2x+1 = (x-1)^{2}$
所以，原式可以写为：
$\sqrt{x^{2}-2x+1} = \sqrt{(x-1)^{2}}$
根据二次根式的性质，我们有：
$\sqrt{(x-1)^{2}} = |x-1|$
接下来，我们需要根据题目给出的条件$x \leq 1$，对$x-1$的符号进行判断。
由于$x \leq 1$，所以$x-1 \leq 0$，
因此，$|x-1| = 1-x$
所以，当$x \leq 1$时，
$\sqrt{x^{2}-2x+1} = 1-x$
【答案】：
$1 - x$

8. 计算：$\sqrt {(-3)^{2}}=$3；$-\sqrt {(-3)^{2}}=$-3

答案： 【解析】：
本题主要考查二次根式的性质，特别是$\sqrt{a^{2}}$和$-\sqrt{a^{2}}$的计算。
对于$\sqrt{a^{2}}$，其值为$|a|$，即a的绝对值。
对于$-\sqrt{a^{2}}$，其值为$-|a|$，即a的绝对值的相反数。
在本题中，$a = -3$，所以我们需要计算$\sqrt{(-3)^{2}}$和$-\sqrt{(-3)^{2}}$。
根据二次根式的性质，我们有：
$\sqrt{(-3)^{2}} = |-3| = 3$，
$-\sqrt{(-3)^{2}} = -|-3| = -3$，
【答案】：
$3$；$-3$。

9. 计算：$\sqrt {(1-\sqrt {3})^{2}}=$$\sqrt{3} - 1$.

答案： 【解析】：
本题主要考查二次根式的性质，特别是$\sqrt{a^2} = |a|$这一性质。
首先，我们需要计算$(1-\sqrt{3})^2$的值，但题目要求的是这个值的平方根，即$\sqrt {(1-\sqrt {3})^{2}}$。
根据平方根的性质，我们有$\sqrt{a^2} = |a|$，所以$\sqrt {(1-\sqrt {3})^{2}} = |1-\sqrt{3}|$。
接下来，我们需要计算绝对值$|1-\sqrt{3}|$。
由于$\sqrt{3} ＞ 1$，所以$1-\sqrt{3} ＜ 0$，因此$|1-\sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1$。
【答案】：
$\sqrt{3} - 1$

10. 已知$a＜1$,化简：$\sqrt {(1-a)^{2}}= $$1 - a$；$\sqrt {(a-2)^{2}}= $$2 - a$.

答案： 【解析】：
本题主要考查二次根式的性质，特别是$\sqrt{x^{2}} = |x|$这一性质。
对于$\sqrt{(1 - a)^{2}}$，由于已知$a ＜ 1$，则$1 - a ＞ 0$。
根据二次根式的性质，我们有$\sqrt{(1 - a)^{2}} = |1 - a| = 1 - a$。
对于$\sqrt{(a - 2)^{2}}$，由于$a ＜ 1$，则$a - 2 ＜ 0$。
根据二次根式的性质，我们有$\sqrt{(a - 2)^{2}} = |a - 2| = 2 - a$。
【答案】：
$1 - a$；$2 - a$。

11. 已知$x= -3$,$y= \frac {1}{3}$,则$\sqrt {-\frac {y}{x}}= $$\frac{1}{3}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查二次根式的性质以及代数式的代入计算。
首先，我们需要明确题目给出的$x$和$y$的值，然后将这两个值代入到目标表达式$\sqrt {-\frac {y}{x}}$中。
代入$x = -3$，$y = \frac{1}{3}$，我们得到：
$\sqrt {-\frac {y}{x}} = \sqrt {-\frac {\frac{1}{3}}{-3}}$
然后，我们进行化简：
$\sqrt {-\frac {\frac{1}{3}}{-3}} = \sqrt {\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$
【答案】：
$\frac{1}{3}$

12. 观察下列各式：$\sqrt {1+\frac {1}{3}}= 2\sqrt {\frac {1}{3}}$,$\sqrt {2+\frac {1}{4}}= 3\sqrt {\frac {1}{4}}$,$\sqrt {3+\frac {1}{5}}= 4\sqrt {\frac {1}{5}}$,…请你将发现的规律用含自然数$n(n≥1)$的等式表示出来：$\sqrt{n + \frac{1}{n + 2}} = (n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$.

答案： 【解析】：
观察给出的各式，我们可以发现它们都遵循一个特定的规律。
首先，我们注意到等式左边根号内的第一个数分别是1，2，3，...，这可以表示为$n$。
接着，我们观察到根号内的分数部分的分母分别是3，4，5，...，这可以表示为$n+2$。
等式右边，根号外的数分别是2，3，4，...，这可以表示为$n+1$。
而根号内的分数部分与左边的分数部分相同，即$\frac{1}{n+2}$。
综合以上观察，我们可以得出含自然数$n(n≥1)$的等式为：
$\sqrt{n + \frac{1}{n + 2}} = (n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$
【答案】：
$\sqrt{n + \frac{1}{n + 2}} = (n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$