《2025年中学生世界八年级数学上册沪教版五四制》

14. 求下列各式的值：
(1)$\sqrt [3]{-1}$； (2)$-\sqrt [3]{27}$； (3)$-\sqrt [3]{-0.125}$； (4)$-\sqrt [3]{-\frac {27}{64}}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查立方根的计算。对于立方根，我们需要找到一个数，使其的三次方等于给定的数。
(1) 对于$\sqrt [3]{-1}$，需要找到一个数，其三次方等于-1，显然$(-1)^3 = -1$，所以$\sqrt [3]{-1} = -1$。
(2) 对于$-\sqrt [3]{27}$，首先计算$\sqrt [3]{27}$，需要找到一个数，其三次方等于27，显然$3^3 = 27$，所以$\sqrt [3]{27} = 3$，再取负值得$-\sqrt [3]{27} = -3$。
(3) 对于$-\sqrt [3]{-0.125}$，需要找到一个数，其三次方等于-0.125，显然$(-0.5)^3 = -0.125$，所以$\sqrt [3]{-0.125} = -0.5$，再取负值得$-\sqrt [3]{-0.125} = 0.5$。
(4) 对于$-\sqrt [3]{-\frac {27}{64}}$，需要找到一个分数，其三次方等于$-\frac {27}{64}$，显然$\left(-\frac {3}{4}\right)^3 = -\frac {27}{64}$，所以$\sqrt [3]{-\frac {27}{64}} = -\frac {3}{4}$，再取负值得$-\sqrt [3]{-\frac {27}{64}} = \frac {3}{4}$。
【答案】：
(1) $\sqrt [3]{-1} = -1$
(2) $-\sqrt [3]{27} = -3$
(3) $-\sqrt [3]{-0.125} = 0.5$
(4) $-\sqrt [3]{-\frac {27}{64}} = \frac {3}{4}$

15. 计算：
(1)$(\sqrt [3]{-8})^{3}+\sqrt {(-2)^{2}}-\sqrt [3]{8^{2}}$； (2)$\sqrt [3]{0.001}+\sqrt {0}-\sqrt [3]{-\frac {8}{125}}$；

答案： 【解析】：
本题主要考查立方根和平方根的计算，以及基础运算法则。
对于第一题$(\sqrt [3]{-8})^{3}+\sqrt {(-2)^{2}}-\sqrt [3]{8^{2}}$：
首先计算立方根部分$\sqrt [3]{-8}$，由于$(-2)^3 = -8$，所以$\sqrt [3]{-8} = -2$。
然后计算$(-2)^3 = -8$。
接着计算平方根部分$\sqrt {(-2)^{2}}$，由于$(-2)^2 = 4$，所以$\sqrt {(-2)^{2}} = 2$。
最后计算$\sqrt [3]{8^{2}}$，由于$8^2 = 64$，且$4^3 = 64$，所以$\sqrt [3]{64} = 4$。
将以上结果代入原式，得到$-8 + 2 - 4 = -10$。
对于第二题$\sqrt [3]{0.001}+\sqrt {0}-\sqrt [3]{-\frac {8}{125}}$：
首先计算立方根部分$\sqrt [3]{0.001}$，由于$0.1^3 = 0.001$，所以$\sqrt [3]{0.001} = 0.1$。
然后计算平方根部分$\sqrt {0}$，结果为$0$。
接着计算立方根部分$\sqrt [3]{-\frac {8}{125}}$，由于$(-\frac{2}{5})^3 = -\frac{8}{125}$，所以$\sqrt [3]{-\frac {8}{125}} = -\frac{2}{5}$。
将以上结果代入原式，得到$0.1 + 0 - (-\frac{2}{5}) = 0.1 + 0.4 = 0.5$，也可以表示为$\frac{1}{2}$。
【答案】：
(1)$(\sqrt [3]{-8})^{3}+\sqrt {(-2)^{2}}-\sqrt [3]{8^{2}} = -10$
(2)$\sqrt [3]{0.001}+\sqrt {0}-\sqrt [3]{-\frac {8}{125}} = \frac{1}{2}$

16. 求 x 的值：
(1)$3x^{3}+\frac {125}{9}= 0$； (2)$(3-2x)^{3}= -1$.

答案： 【解析】：
对于这道题目，我们需要分别求解两个一元三次方程。
(1) 对于方程 $3x^{3}+\frac {125}{9}= 0$，我们可以先将其化简为 $x^{3} = -\frac{125}{27}$，然后利用立方根的定义求解 $x$。
(2) 对于方程 $(3-2x)^{3}= -1$，我们可以直接利用立方根的定义，得到 $3-2x = -1$，然后解这个一元一次方程求解 $x$。
【答案】：
(1) 解：
从方程 $3x^{3}+\frac {125}{9}= 0$ 开始，
移项得 $3x^{3} = -\frac{125}{9}$，
两边同时除以3，得 $x^{3} = -\frac{125}{27}$，
根据立方根的定义，得 $x = \sqrt[3]{-\frac{125}{27}} = -\frac{5}{3}$。
(2) 解：
从方程 $(3-2x)^{3}= -1$ 开始，
根据立方根的定义，得 $3-2x = -1$，
移项并合并同类项，得 $-2x = -4$，
两边同时除以-2，得 $x = 2$。

17. 若把一个正方体的每条棱长都增加 3 厘米后,得到的正方体体积是 216 立方厘米.求：
(1)原正方体棱长；
(2)棱长增加 3 厘米的正方体体积比原正方体体积增加了多少?

答案： 【解析】：
本题主要考察正方体的体积公式以及立方根的应用。
首先，设原正方体的棱长为$x$厘米，根据题目条件，棱长增加3厘米后，新的棱长就是$x+3$厘米，且新的正方体体积是216立方厘米。
(1) 根据正方体的体积公式$V = a^{3}$，可以列出方程：
$(x + 3)^{3} = 216$。
对方程两边同时取立方根，得到：
$x + 3 = \sqrt[3]{216} = 6$，
解得$x = 6 - 3 = 3$。
所以，原正方体的棱长是3厘米。
(2) 接下来，计算原正方体的体积和棱长增加3厘米后的正方体体积的增加量。
原正方体的体积为：
$V_{\text{原}} = 3^{3} = 27 \text{(立方厘米)}$，
棱长增加3厘米后的正方体体积为216立方厘米，所以体积增加了：
$\Delta V = 216 - 27 = 189 \text{(立方厘米)}$。
【答案】：
(1) 原正方体的棱长是3厘米。
(2) 棱长增加3厘米的正方体体积比原正方体体积增加了189立方厘米。

思维与拓展 2
如果$\sqrt [3]{200×a}$是一个整数,那么最大负整数 a 是多少?

答案： 解：$\sqrt[3]{200a}$是整数，设$\sqrt[3]{200a}=k$（$k$为整数），则$200a=k^3$。
$200=2^3×5^2$，故$2^3×5^2×a=k^3$。
要使等式左边为立方数，$a$需含$5×m^3$（$m$为整数），即$a=5m^3$。
求最大负整数$a$，取$m=-1$，则$a=5×(-1)^3=-5$。
验证：$200×(-5)=-1000$，$\sqrt[3]{-1000}=-10$是整数。
答：最大负整数$a$是$-5$。