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1. 根式$\frac {1}{2\sqrt {ab}}$分母有理化后,得 (
A.$\frac {\sqrt {2ab}}{2ab}$;
B.$\frac {\sqrt {2ab}}{4ab}$;
C.$\frac {\sqrt {ab}}{2ab}$;
D.$\frac {\sqrt {ab}}{4ab}$.
C
)A.$\frac {\sqrt {2ab}}{2ab}$;
B.$\frac {\sqrt {2ab}}{4ab}$;
C.$\frac {\sqrt {ab}}{2ab}$;
D.$\frac {\sqrt {ab}}{4ab}$.
答案：
解：$\frac{1}{2\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab} \cdot \sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{ab}}{2ab}$，故选C。
2. 将式子$-\frac {2}{\sqrt {x+y}}$分母有理化,分子、分母应同时乘 (
A.$\sqrt {x}+\sqrt {y}$;
B.$\sqrt {x}-\sqrt {y}$;
C.$\sqrt {x+y}$;
D.$\sqrt {x-y}$.
C
)A.$\sqrt {x}+\sqrt {y}$;
B.$\sqrt {x}-\sqrt {y}$;
C.$\sqrt {x+y}$;
D.$\sqrt {x-y}$.
答案：
【解析】：
本题考查二次根式分母有理化的知识点。
分母有理化是一种数学技巧，用于将分母中的根号去掉，通常通过分子分母同时乘以一个适当的式子来实现。
在本题中，需要将式子$-\frac {2}{\sqrt {x+y}}$分母有理化，
根据分母有理化的原理，需要找到一个式子，使其与分母$\sqrt {x+y}$相乘后，分母变为一个有理数（即没有根号的数）。
观察选项，发现只有选项C.$\sqrt {x+y}$满足这个条件，因为$\sqrt {x+y} × \sqrt {x+y} = x+y$，
这样分母就变成了一个有理数。
【答案】：
C
本题考查二次根式分母有理化的知识点。
分母有理化是一种数学技巧，用于将分母中的根号去掉，通常通过分子分母同时乘以一个适当的式子来实现。
在本题中，需要将式子$-\frac {2}{\sqrt {x+y}}$分母有理化，
根据分母有理化的原理，需要找到一个式子，使其与分母$\sqrt {x+y}$相乘后，分母变为一个有理数（即没有根号的数）。
观察选项，发现只有选项C.$\sqrt {x+y}$满足这个条件，因为$\sqrt {x+y} × \sqrt {x+y} = x+y$，
这样分母就变成了一个有理数。
【答案】：
C
3. 将式子$\frac {2}{\sqrt {99}}$分母有理化,简单的方法是分子、分母同时乘 (
A.$\sqrt {99}$;
B.$\sqrt {33}$;
C.$\sqrt {11}$;
D.$\sqrt {3}$.
C
)A.$\sqrt {99}$;
B.$\sqrt {33}$;
C.$\sqrt {11}$;
D.$\sqrt {3}$.
答案：
【解析】：
本题考查二次根式的有理化。为了消除分母中的根号，常用的方法是通过乘以适当的根式来实现。具体来说，对于形如$\frac{a}{\sqrt{b}}$的分数，为了有理化分母，我们可以同时乘以$\sqrt{b}$，从而得到$\frac{a\sqrt{b}}{b}$。但在这个特定问题中，为了简化，我们会选择一个能使分母成为一个完全平方数的根式进行乘法。
对于式子$\frac{2}{\sqrt{99}}$，为了有理化分母，我们可以考虑将分母$\sqrt{99}$分解为$\sqrt{9 × 11}$，即$3\sqrt{11}$。为了得到一个完全平方数，我们可以选择乘以$\sqrt{11}$，这样分母就变成了$3\sqrt{11} × \sqrt{11} = 33$，从而达到了分母有理化的目的。
【答案】：
C.$\sqrt {11}$。
本题考查二次根式的有理化。为了消除分母中的根号，常用的方法是通过乘以适当的根式来实现。具体来说，对于形如$\frac{a}{\sqrt{b}}$的分数，为了有理化分母，我们可以同时乘以$\sqrt{b}$，从而得到$\frac{a\sqrt{b}}{b}$。但在这个特定问题中，为了简化，我们会选择一个能使分母成为一个完全平方数的根式进行乘法。
对于式子$\frac{2}{\sqrt{99}}$，为了有理化分母，我们可以考虑将分母$\sqrt{99}$分解为$\sqrt{9 × 11}$，即$3\sqrt{11}$。为了得到一个完全平方数，我们可以选择乘以$\sqrt{11}$，这样分母就变成了$3\sqrt{11} × \sqrt{11} = 33$，从而达到了分母有理化的目的。
【答案】：
C.$\sqrt {11}$。
4. 计算$\sqrt {a^{2}}\cdot \sqrt {-a}$的值为 (
A.$a\sqrt {-a}$;
B.$-a\sqrt {a}$;
C.$\sqrt {a}$;
D.$-a\sqrt {-a}$.
D
)A.$a\sqrt {-a}$;
B.$-a\sqrt {a}$;
C.$\sqrt {a}$;
D.$-a\sqrt {-a}$.
答案：
【解析】：
首先，根据二次根式的定义，我们知道被开方数必须是非负数，
所以在本题中，由于存在$\sqrt{-a}$，这意味着$-a \geq 0$，即$a \leq 0$。
然后，我们将原式$\sqrt{a^{2}} \cdot \sqrt{-a}$进行化简。
由于$a \leq 0$，所以$\sqrt{a^{2}} = |a| = -a$（注意，这里我们取绝对值是因为根号下的数必须是非负的，而$a^{2}$始终是非负的，但其平方根应为正数或零，由于$a$是负数，所以取$-a$）。
接下来，我们将$\sqrt{a^{2}}$替换为$-a$，得到：
$-a \cdot \sqrt{-a}$
这与选项D相匹配。
【答案】：
D. $-a\sqrt{-a}$。
首先，根据二次根式的定义，我们知道被开方数必须是非负数，
所以在本题中，由于存在$\sqrt{-a}$，这意味着$-a \geq 0$，即$a \leq 0$。
然后，我们将原式$\sqrt{a^{2}} \cdot \sqrt{-a}$进行化简。
由于$a \leq 0$，所以$\sqrt{a^{2}} = |a| = -a$（注意，这里我们取绝对值是因为根号下的数必须是非负的，而$a^{2}$始终是非负的，但其平方根应为正数或零，由于$a$是负数，所以取$-a$）。
接下来，我们将$\sqrt{a^{2}}$替换为$-a$，得到：
$-a \cdot \sqrt{-a}$
这与选项D相匹配。
【答案】：
D. $-a\sqrt{-a}$。
5. 计算$\frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {2}}-\frac {1}{\sqrt {2}-\sqrt {3}}$的值为 (
A.$2\sqrt {2}$;
B.$2\sqrt {3}$;
C.$2-2\sqrt {3}$;
D.$-2\sqrt {2}$.
B
)A.$2\sqrt {2}$;
B.$2\sqrt {3}$;
C.$2-2\sqrt {3}$;
D.$-2\sqrt {2}$.
答案：
解：原式$=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}$
$=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3}$
$=(\sqrt{3}-\sqrt{2}) - \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{-1}$
$=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}$
答案：B
$=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3}$
$=(\sqrt{3}-\sqrt{2}) - \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{-1}$
$=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}$
答案：B
6. 计算:
(1)$\sqrt {2}×\sqrt {\frac {1}{2}}=$
(2)$(\sqrt {2}+1)×(\sqrt {2}-1)=$
(3)$(2\sqrt {3}+\sqrt {2})×(2\sqrt {3}-\sqrt {2})=$
(4)$(m\sqrt {a}+n\sqrt {b})×(m\sqrt {a}-n\sqrt {b})=$
通过上面的计算发现,等式的左边含有二次根式,等式的右边
(1)$\sqrt {2}×\sqrt {\frac {1}{2}}=$
1
;(2)$(\sqrt {2}+1)×(\sqrt {2}-1)=$
1
;(3)$(2\sqrt {3}+\sqrt {2})×(2\sqrt {3}-\sqrt {2})=$
10
;(4)$(m\sqrt {a}+n\sqrt {b})×(m\sqrt {a}-n\sqrt {b})=$
$m^2a - n^2b$
.通过上面的计算发现,等式的左边含有二次根式,等式的右边
是一个整式（或 没有根号）
.
答案：
【解析】：
本题考查二次根式的乘法运算以及平方差公式的应用。
(1) 对于 $\sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{2}}$，根据二次根式的乘法法则，有：
$\sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{2 × \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$
(2) 对于 $(\sqrt{2} + 1) × (\sqrt{2} - 1)$，根据平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，有：
$(\sqrt{2} + 1) × (\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2}^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$
(3) 对于 $(2\sqrt{3} + \sqrt{2}) × (2\sqrt{3} - \sqrt{2})$，同样应用平方差公式，有：
$(2\sqrt{3} + \sqrt{2}) × (2\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (2\sqrt{3})^2 - \sqrt{2}^2 = 12 - 2 = 10$
(4) 对于 $(m\sqrt{a} + n\sqrt{b}) × (m\sqrt{a} - n\sqrt{b})$，再次应用平方差公式，有：
$(m\sqrt{a} + n\sqrt{b}) × (m\sqrt{a} - n\sqrt{b}) = (m\sqrt{a})^2 - (n\sqrt{b})^2 = m^2a - n^2b$
通过上面的计算，我们可以发现等式的左边含有二次根式，而等式的右边是一个整式（没有根号）。
【答案】：
(1) $1$
(2) $1$
(3) $10$
(4) $m^2a - n^2b$；是一个整式（或 没有根号）。
本题考查二次根式的乘法运算以及平方差公式的应用。
(1) 对于 $\sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{2}}$，根据二次根式的乘法法则，有：
$\sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{2 × \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$
(2) 对于 $(\sqrt{2} + 1) × (\sqrt{2} - 1)$，根据平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，有：
$(\sqrt{2} + 1) × (\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2}^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$
(3) 对于 $(2\sqrt{3} + \sqrt{2}) × (2\sqrt{3} - \sqrt{2})$，同样应用平方差公式，有：
$(2\sqrt{3} + \sqrt{2}) × (2\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (2\sqrt{3})^2 - \sqrt{2}^2 = 12 - 2 = 10$
(4) 对于 $(m\sqrt{a} + n\sqrt{b}) × (m\sqrt{a} - n\sqrt{b})$，再次应用平方差公式，有：
$(m\sqrt{a} + n\sqrt{b}) × (m\sqrt{a} - n\sqrt{b}) = (m\sqrt{a})^2 - (n\sqrt{b})^2 = m^2a - n^2b$
通过上面的计算，我们可以发现等式的左边含有二次根式，而等式的右边是一个整式（没有根号）。
【答案】：
(1) $1$
(2) $1$
(3) $10$
(4) $m^2a - n^2b$；是一个整式（或 没有根号）。
7. 将下列各式分母有理化,并化简:
$\sqrt {\frac {1}{2a}}=$
$\sqrt {\frac {1}{2a}}=$
$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$
;$\sqrt {\frac {1}{12}}=$$\frac{\sqrt{3}}{6}$
.
答案：
【解析】：
本题主要考查二次根式的有理化以及化简。对于形如$\sqrt{\frac{1}{a}}$的式子，我们可以通过乘以$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$来有理化分母。
对于$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，我们可以通过乘以$\frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{2a}}$来有理化分母，得到$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$。
对于$\sqrt{\frac{1}{12}}$，我们可以先将其拆分为$\frac{1}{\sqrt{12}}$，然后乘以$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{12}}$，得到$\frac{\sqrt{12}}{12}$，最后化简得到$\frac{\sqrt{3}}{6}$。
【答案】：
$\sqrt {\frac {1}{2a}}= \frac{\sqrt{2a}}{2a}$；
$\sqrt {\frac {1}{12}}= \frac{\sqrt{3}}{6}$。
本题主要考查二次根式的有理化以及化简。对于形如$\sqrt{\frac{1}{a}}$的式子，我们可以通过乘以$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$来有理化分母。
对于$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，我们可以通过乘以$\frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{2a}}$来有理化分母，得到$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$。
对于$\sqrt{\frac{1}{12}}$，我们可以先将其拆分为$\frac{1}{\sqrt{12}}$，然后乘以$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{12}}$，得到$\frac{\sqrt{12}}{12}$，最后化简得到$\frac{\sqrt{3}}{6}$。
【答案】：
$\sqrt {\frac {1}{2a}}= \frac{\sqrt{2a}}{2a}$；
$\sqrt {\frac {1}{12}}= \frac{\sqrt{3}}{6}$。
8. 比较大小:$\frac {4}{\sqrt {3}}$
$\gt$
$\sqrt {3}$;$-\sqrt {18}$$\gt$
$-\frac {9}{\sqrt {3}}$.
答案：
【分析】：
本题主要考察二次根式的运算和大小比较。对于第一组数，可以通过比较它们的平方来确定大小；对于第二组数，需要先化简，再通过比较它们的绝对值来确定大小。
【解析】：
对于第一组数 $\frac{4}{\sqrt{3}}$ 和 $\sqrt{3}$，我们可以先求两者的平方：
$\left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^{2} = \frac{16}{3}$，
$(\sqrt{3})^{2} = 3 = \frac{9}{3}$，
由于 $\frac{16}{3} \gt \frac{9}{3}$，
所以 $\frac{4}{\sqrt{3}} \gt \sqrt{3}$，
对于第二组数 $-\sqrt{18}$ 和 $-\frac{9}{\sqrt{3}}$，
首先化简：
$-\sqrt{18} = -3\sqrt{2}$，
$-\frac{9}{\sqrt{3}} = -3\sqrt{3}$，
接着比较两者的绝对值：
$|-3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2}$，
$|-3\sqrt{3}| = 3\sqrt{3}$，
由于 $3\sqrt{2} \lt 3\sqrt{3}$，
所以原数的大小关系为 $-3\sqrt{2} \gt -3\sqrt{3}$，
即 $-\sqrt{18} \gt -\frac{9}{\sqrt{3}}$。
【答案】：
$\gt$；$\gt$。
本题主要考察二次根式的运算和大小比较。对于第一组数，可以通过比较它们的平方来确定大小；对于第二组数，需要先化简，再通过比较它们的绝对值来确定大小。
【解析】：
对于第一组数 $\frac{4}{\sqrt{3}}$ 和 $\sqrt{3}$，我们可以先求两者的平方：
$\left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^{2} = \frac{16}{3}$，
$(\sqrt{3})^{2} = 3 = \frac{9}{3}$，
由于 $\frac{16}{3} \gt \frac{9}{3}$，
所以 $\frac{4}{\sqrt{3}} \gt \sqrt{3}$，
对于第二组数 $-\sqrt{18}$ 和 $-\frac{9}{\sqrt{3}}$，
首先化简：
$-\sqrt{18} = -3\sqrt{2}$，
$-\frac{9}{\sqrt{3}} = -3\sqrt{3}$，
接着比较两者的绝对值：
$|-3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2}$，
$|-3\sqrt{3}| = 3\sqrt{3}$，
由于 $3\sqrt{2} \lt 3\sqrt{3}$，
所以原数的大小关系为 $-3\sqrt{2} \gt -3\sqrt{3}$，
即 $-\sqrt{18} \gt -\frac{9}{\sqrt{3}}$。
【答案】：
$\gt$；$\gt$。
9. 分母有理化:$\frac {1}{\sqrt {3x}}=$
$\frac{\sqrt {3x}}{3x}$
;$\frac {3}{\sqrt {2}}=$$\frac{3\sqrt {2}}{2}$
.
答案：
【解析】：
对于这类分母有理化的题目，我们主要需要运用二次根式的性质来进行化简。具体的方法是，通过乘以适当的根式，使得分母变为有理数。
1. 对于 $\frac {1}{\sqrt {3x}}$，为了有理化分母，我们可以同时乘以 $\frac{\sqrt {3x}}{\sqrt {3x}}$：
$\frac {1}{\sqrt {3x}} × \frac{\sqrt {3x}}{\sqrt {3x}} = \frac{\sqrt {3x}}{3x}$
2. 对于 $\frac {3}{\sqrt {2}}$，为了有理化分母，我们可以同时乘以 $\frac{\sqrt {2}}{\sqrt {2}}$：
$\frac {3}{\sqrt {2}} × \frac{\sqrt {2}}{\sqrt {2}} = \frac{3\sqrt {2}}{2}$
【答案】：
$\frac{\sqrt {3x}}{3x}$；$\frac{3\sqrt {2}}{2}$
对于这类分母有理化的题目，我们主要需要运用二次根式的性质来进行化简。具体的方法是，通过乘以适当的根式，使得分母变为有理数。
1. 对于 $\frac {1}{\sqrt {3x}}$，为了有理化分母，我们可以同时乘以 $\frac{\sqrt {3x}}{\sqrt {3x}}$：
$\frac {1}{\sqrt {3x}} × \frac{\sqrt {3x}}{\sqrt {3x}} = \frac{\sqrt {3x}}{3x}$
2. 对于 $\frac {3}{\sqrt {2}}$，为了有理化分母，我们可以同时乘以 $\frac{\sqrt {2}}{\sqrt {2}}$：
$\frac {3}{\sqrt {2}} × \frac{\sqrt {2}}{\sqrt {2}} = \frac{3\sqrt {2}}{2}$
【答案】：
$\frac{\sqrt {3x}}{3x}$；$\frac{3\sqrt {2}}{2}$
10. 分母有理化:$\frac {5}{\sqrt {2a+b}}=$
$\frac{5\sqrt{2a + b}}{2a + b}$
.
答案：
【解析】：
题目考查的是二次根式的分母有理化。
分母有理化的方法一般是通过乘以适当的共轭式来消除分母中的根号。
在这个问题中，我们需要将分母$\sqrt{2a+b}$与它的共轭式相乘，即乘以$\frac{\sqrt{2a+b}}{\sqrt{2a+b}}$。
【答案】：
$\frac{5}{\sqrt{2a + b}} × \frac{\sqrt{2a + b}}{\sqrt{2a + b}} = \frac{5\sqrt{2a + b}}{2a + b}$
故答案为：$\frac{5\sqrt{2a + b}}{2a + b}$。
题目考查的是二次根式的分母有理化。
分母有理化的方法一般是通过乘以适当的共轭式来消除分母中的根号。
在这个问题中，我们需要将分母$\sqrt{2a+b}$与它的共轭式相乘，即乘以$\frac{\sqrt{2a+b}}{\sqrt{2a+b}}$。
【答案】：
$\frac{5}{\sqrt{2a + b}} × \frac{\sqrt{2a + b}}{\sqrt{2a + b}} = \frac{5\sqrt{2a + b}}{2a + b}$
故答案为：$\frac{5\sqrt{2a + b}}{2a + b}$。
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