《2025年中学生世界八年级数学上册沪教版五四制》

12. 计算(结果保留两位小数)：
(1) $3\sqrt{2}-(\frac{3}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2})$；(2) $\sqrt{3}×(\frac{3}{5}\sqrt{7}-\frac{1}{5}\sqrt{7})÷2\sqrt{7}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察了二次根式的混合运算。
对于第一个表达式，我们需要先对括号内的同类项进行合并，再进行减法运算。
对于第二个表达式，我们需要先对括号内的同类项进行合并，然后进行乘法和除法运算。
(1)
解：
首先，我们合并括号内的同类项：
$\frac{3}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
然后，我们进行减法运算：
$3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.41$
(2)
解：
首先，我们合并括号内的同类项：
$\frac{3}{5}\sqrt{7} - \frac{1}{5}\sqrt{7} = \frac{2}{5}\sqrt{7}$
然后，我们进行乘法和除法运算：
$\sqrt{3} × \frac{2}{5}\sqrt{7} ÷ 2\sqrt{7} = \frac{2\sqrt{3} × \sqrt{7}}{5 × 2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{5} \approx 0.35$
【答案】：
(1) $1.41$
(2) $0.35$

13. 对于两个不相等的实数 $a$、$b$,定义一种新的运算如下：$a*b= \frac{\sqrt{a+b}}{a-b}(a+b\gt0)$,如：$3*2= \frac{\sqrt{3+2}}{3-2}= \sqrt{5}$.
请你计算：
(1) $8*7$；(2) $6*(5*4)$.

答案： 【解析】：
本题主要考查了新定义运算及实数的混合运算，解题的关键是根据新定义将所求式子转化为实数的混合运算。
(1) 根据新定义的运算规则，我们可以将 $8*7$ 转化为标准的数学运算：
$8*7 = \frac{\sqrt{8 + 7}}{8 - 7} = \frac{\sqrt{15}}{1} = \sqrt{15}$
(2) 对于 $6*(5*4)$，我们需要先计算括号内的运算：
首先计算 $5*4$：
$5*4 = \frac{\sqrt{5 + 4}}{5 - 4} = \frac{\sqrt{9}}{1} = 3$
然后再将结果代入原式进行计算：
$6*(5*4) = 6*3 = \frac{\sqrt{6 + 3}}{6 - 3} = \frac{\sqrt{9}}{3} = 1$
【答案】：
(1) $8*7 = \sqrt{15}$
(2) $6*(5*4) = 1$

如图,点 $B$ 关于点 $A$ 的对称点为 $C$,若点 $C$ 所表示的实数为 $x$,则 $x^2-4x+2$ 的值是(C)
A.$2-\sqrt{2}$；
B.$1$；
C.$0$；
D.$\sqrt{2}-2$.

答案： 【解析】：
本题可先根据点$B$关于点$A$的对称点为$C$求出$x$的值，再将$x$的值代入$x^2 - 4x + 2$中进行计算。
步骤一：根据对称点的性质求出$x$的值
若两点关于某点对称，则该点为这两点的中点。
已知点$B$关于点$A$的对称点为$C$，点$A$表示的数为$1$，点$B$表示的数为$\sqrt{2}$，设点$C$表示的数为$x$。
根据中点坐标公式：若有两点$M(m)$，$N(n)$，则它们的中点$P$的坐标为$\frac{m + n}{2}$，可得$\frac{x + \sqrt{2}}{2}=1$。
求解上述方程：
$\begin{aligned}x + \sqrt{2}&=2\\x&=2 - \sqrt{2}\end{aligned}$
步骤二：将$x = 2 - \sqrt{2}$代入$x^2 - 4x + 2$中进行计算
$\begin{aligned}&x^2 - 4x + 2\\=&(2 - \sqrt{2})^2 - 4×(2 - \sqrt{2}) + 2\\=&(2^2 - 2×2×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) - (8 - 4\sqrt{2}) + 2\\=&(4 - 4\sqrt{2} + 2) - 8 + 4\sqrt{2} + 2\\=&6 - 4\sqrt{2} - 8 + 4\sqrt{2} + 2\\=&(6 + 2 - 8) + (-4\sqrt{2} + 4\sqrt{2})\\=&0\end{aligned}$
【答案】：C