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13. 已知 a、b 为实数,且满足$a= \sqrt {2b-1}+\sqrt {1-2b}+1$。
(1)b 的值为多少？
(2)求 a 的值；
(3)求$a+b$的值。
(1)b 的值为多少？
(2)求 a 的值；
(3)求$a+b$的值。
答案：
【解析】：
本题主要考察二次根式有意义的条件，即被开方数必须大于等于0。
(1) 对于$b$的值：
由于$a = \sqrt{2b-1} + \sqrt{1-2b} + 1$，
根据二次根式有意义的条件，我们有：
$\begin{cases}2b - 1 \geq 0 \\1 - 2b \geq 0\end{cases}$解这个不等式组，我们得到：
$\begin{cases}2b \geq 1 \\2b \leq 1\end{cases}$即 $2b = 1$，
所以 $b = \frac{1}{2}$。
(2) 对于$a$的值：
将$b = \frac{1}{2}$代入原式，我们得到：
$a = \sqrt{2 × \frac{1}{2} - 1} + \sqrt{1 - 2 × \frac{1}{2}} + 1 = \sqrt{1 - 1} + \sqrt{1 - 1} + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$
(3) 对于$a+b$的值：
将$a = 1$和$b = \frac{1}{2}$代入，我们得到：
$a + b = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
【答案】：
(1) $b = \frac{1}{2}$；
(2) $a = 1$；
(3) $a + b = \frac{3}{2}$。
本题主要考察二次根式有意义的条件，即被开方数必须大于等于0。
(1) 对于$b$的值：
由于$a = \sqrt{2b-1} + \sqrt{1-2b} + 1$，
根据二次根式有意义的条件，我们有：
$\begin{cases}2b - 1 \geq 0 \\1 - 2b \geq 0\end{cases}$解这个不等式组，我们得到：
$\begin{cases}2b \geq 1 \\2b \leq 1\end{cases}$即 $2b = 1$，
所以 $b = \frac{1}{2}$。
(2) 对于$a$的值：
将$b = \frac{1}{2}$代入原式，我们得到：
$a = \sqrt{2 × \frac{1}{2} - 1} + \sqrt{1 - 2 × \frac{1}{2}} + 1 = \sqrt{1 - 1} + \sqrt{1 - 1} + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$
(3) 对于$a+b$的值：
将$a = 1$和$b = \frac{1}{2}$代入，我们得到：
$a + b = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
【答案】：
(1) $b = \frac{1}{2}$；
(2) $a = 1$；
(3) $a + b = \frac{3}{2}$。
14. 当 x 取什么实数时,式子$\sqrt {3x-1}+2$的值最小？求出这个最小值。
答案：
【解析】：
本题主要考查二次根式的性质以及其在实数范围内的取值情况。
对于二次根式$\sqrt{a}$，其取值范围是$a \geq 0$，且当$a=0$时，$\sqrt{a}$取得最小值0。
因此，对于式子$\sqrt{3x-1}+2$，我们需要找到使$3x-1=0$的$x$值，以便确定式子的最小值。
首先，我们设$3x-1=0$，
解得$x = \frac{1}{3}$。
然后，我们将$x = \frac{1}{3}$代入原式，得到最小值为$2$。
【答案】：
当$x = \frac{1}{3}$时，式子$\sqrt{3x-1}+2$取得最小值，最小值为$2$。
本题主要考查二次根式的性质以及其在实数范围内的取值情况。
对于二次根式$\sqrt{a}$，其取值范围是$a \geq 0$，且当$a=0$时，$\sqrt{a}$取得最小值0。
因此，对于式子$\sqrt{3x-1}+2$，我们需要找到使$3x-1=0$的$x$值，以便确定式子的最小值。
首先，我们设$3x-1=0$，
解得$x = \frac{1}{3}$。
然后，我们将$x = \frac{1}{3}$代入原式，得到最小值为$2$。
【答案】：
当$x = \frac{1}{3}$时，式子$\sqrt{3x-1}+2$取得最小值，最小值为$2$。
15. 已知 a、b、c 满足$(a-\sqrt {8})^{2}+\sqrt {b-5}+|c-3\sqrt {2}|= 0$。
(1)求 a、b、c 的值；
(2)以长度分别为 a、b、c 的线段为边能否构成三角形？若能,求出三角形的周长；若不能,请说明理由。
(1)求 a、b、c 的值；
(2)以长度分别为 a、b、c 的线段为边能否构成三角形？若能,求出三角形的周长；若不能,请说明理由。
答案：
【解析】：
(1)首先分析题目中的数学表达式。由于平方和开方都是非负的，所以要使$(a-\sqrt {8})^{2}+\sqrt {b-5}+|c-3\sqrt {2}|= 0$成立，每一项都必须为0。
对于$(a-\sqrt {8})^{2}= 0$，解得$a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。
对于$\sqrt {b-5}= 0$，解得$b-5 = 0$，即$b = 5$。
对于$|c-3\sqrt {2}|= 0$，解得$c = 3\sqrt{2}$。
(2)接下来判断这三条边是否能构成三角形。
根据三角形的构成条件，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
对于$a = 2\sqrt{2}$，$b = 5$，$c = 3\sqrt{2}$，有：
$a + c = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2} ＞ 5 = b$
$b - a = 5 - 2\sqrt{2} ＜ 3\sqrt{2} = c$
$b-c=5-3\sqrt{2}＜2\sqrt{2}=a$
$c-a=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}＜5=b$
其他两边之和与差的关系也可以类似验证，都满足三角形的构成条件。
因此，能构成三角形，其周长为$a + b + c = 2\sqrt{2} + 5 + 3\sqrt{2} = 5 + 5\sqrt{2}$。
【答案】：
(1)$a = 2\sqrt{2}$，$b = 5$，$c = 3\sqrt{2}$；
(2)能构成三角形，周长为$5 + 5\sqrt{2}$。
(1)首先分析题目中的数学表达式。由于平方和开方都是非负的，所以要使$(a-\sqrt {8})^{2}+\sqrt {b-5}+|c-3\sqrt {2}|= 0$成立，每一项都必须为0。
对于$(a-\sqrt {8})^{2}= 0$，解得$a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。
对于$\sqrt {b-5}= 0$，解得$b-5 = 0$，即$b = 5$。
对于$|c-3\sqrt {2}|= 0$，解得$c = 3\sqrt{2}$。
(2)接下来判断这三条边是否能构成三角形。
根据三角形的构成条件，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
对于$a = 2\sqrt{2}$，$b = 5$，$c = 3\sqrt{2}$，有：
$a + c = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2} ＞ 5 = b$
$b - a = 5 - 2\sqrt{2} ＜ 3\sqrt{2} = c$
$b-c=5-3\sqrt{2}＜2\sqrt{2}=a$
$c-a=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}＜5=b$
其他两边之和与差的关系也可以类似验证，都满足三角形的构成条件。
因此，能构成三角形，其周长为$a + b + c = 2\sqrt{2} + 5 + 3\sqrt{2} = 5 + 5\sqrt{2}$。
【答案】：
(1)$a = 2\sqrt{2}$，$b = 5$，$c = 3\sqrt{2}$；
(2)能构成三角形，周长为$5 + 5\sqrt{2}$。
16. 已知 m 满足$\left\{\begin{array}{l} 2x+3y-m= 0,\\ 3x+2y+1+2m= 0,\end{array} \right. 且\sqrt {x+y-2025}= -\sqrt {2025-x-y}$,求 m 的值。
答案：
【分析】：
本题主要考查了二元一次方程组的解以及二次根式有意义的条件。
首先，我们需要利用给定的条件$\sqrt{x + y - 2025} = - \sqrt{2025 - x - y}$来求出$x+y$的值。
然后，将$x+y$的值代入到原方程组中，得到关于$m$的方程，最后求解$m$。
【解答】：
由于二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，
所以，我们有$x + y - 2025 \geqslant 0$和$2025 - x - y \geqslant 0$，
即$x+y\geq2025$且$x+y\leq2025$，
所以我们可以得出$x + y = 2025$。
接下来，我们将$x + y = 2025$代入到原方程组中，得到新的方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = m, \\3x + 2y = - 1 - 2m.\end{cases}$
将两个方程相加，得到：
$5(x+y)=m-1-2m$，
即$5 × 2025 = - 1 - m$，
进一步求解，我们得到$m = - 10126$。
所以，$m$的值为$-10126$。
本题主要考查了二元一次方程组的解以及二次根式有意义的条件。
首先，我们需要利用给定的条件$\sqrt{x + y - 2025} = - \sqrt{2025 - x - y}$来求出$x+y$的值。
然后，将$x+y$的值代入到原方程组中，得到关于$m$的方程，最后求解$m$。
【解答】：
由于二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，
所以，我们有$x + y - 2025 \geqslant 0$和$2025 - x - y \geqslant 0$，
即$x+y\geq2025$且$x+y\leq2025$，
所以我们可以得出$x + y = 2025$。
接下来，我们将$x + y = 2025$代入到原方程组中，得到新的方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = m, \\3x + 2y = - 1 - 2m.\end{cases}$
将两个方程相加，得到：
$5(x+y)=m-1-2m$，
即$5 × 2025 = - 1 - m$，
进一步求解，我们得到$m = - 10126$。
所以，$m$的值为$-10126$。
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