《2025年中学生世界八年级数学上册沪教版五四制》

1. 如果$\sqrt {x^{3}+3x^{2}}= -x\sqrt {x+3}$,那么$x$的取值范围是(D)
A.$x≤0$；
B.$x≥-3$；
C.$0\lt x＜3$；
D.$-3≤x≤0$.

答案： 【解析】：
首先，由于方程中存在平方根，我们需要保证被开方的数是非负的，即：
$x^{3} + 3x^{2} \geq 0$
$x^{2}(x + 3) \geq 0$
由于$x^{2}$总是非负的，所以关键是$x + 3 \geq 0$，得到：
$x \geq -3$
接下来，考虑方程右边的$-x\sqrt{x + 3}$。
由于平方根内的数必须是非负的，所以有：
$x + 3 \geq 0$
这再次给出了$x \geq -3$。
同时，由于方程右边有$-x$，且平方根的结果是非负的，所以$-x$必须是非正的，即：
$-x \geq 0$
$x \leq 0$
综合以上两个条件，我们得到$x$的取值范围为：
$-3 \leq x \leq 0$
然后，我们将$x$的取值范围代入原方程进行验证。
当$-3 \leq x \leq 0$时，$x^{3} + 3x^{2} =x^{2}(x + 3) \geq 0$且$\sqrt{x + 3}$有意义，
同时$-x$也是非负的，所以原方程成立。
【答案】：
D. $-3 \leq x \leq 0$。

2. 下列二次根式中能与$2\sqrt {3}$合并的是(B)
A.$\sqrt {8}$；
B.$\sqrt {\frac {1}{3}}$；
C.$\sqrt {18}$；
D.$\sqrt {9}$.

答案： 【解析】：
本题考查二次根式的化简以及同类二次根式的合并。
首先，我们需要将各个选项中的二次根式化为最简形式，然后判断哪个能与$2\sqrt{3}$合并。
A. $\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$，由于被开方数为2，与3不同，所以不能与$2\sqrt{3}$合并。
B. $\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，由于被开方数为3，与$2\sqrt{3}$的被开方数相同，所以能与$2\sqrt{3}$合并。
C. $\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2}$，由于被开方数为2，与3不同，所以不能与$2\sqrt{3}$合并。
D. $\sqrt{9} = 3$，这是一个整数，不是二次根式，所以不能与$2\sqrt{3}$合并。
综上，只有选项B的二次根式能与$2\sqrt{3}$合并。
【答案】：
B

3. 若$a= \frac {1}{2-\sqrt {5}},b= \frac {1}{2+\sqrt {5}}$,则$a+b+ab$的值是(C)
A.$1+2\sqrt {5}$；
B.$1-2\sqrt {5}$；
C.$-5$；
D.3.

答案： 【分析】：
本题主要考查二次根式的化简求值。
首先，我们需要对给定的$a$和$b$进行分母有理化，然后将其代入到$a+b+ab$中进行计算。
【解析】：
首先，我们对$a$进行分母有理化：
$a = \frac{1}{2 - \sqrt{5}}$
为了有理化分母，我们同时乘以分母的共轭式：
$a = \frac{1}{2 - \sqrt{5}} × \frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}$
$a = \frac{2 + \sqrt{5}}{(2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})}$
$a = \frac{2 + \sqrt{5}}{4 - 5}$
$a = - 2 - \sqrt{5}$
同理，对$b$进行分母有理化：
$b = \frac{1}{2 + \sqrt{5}}$
$b = \frac{1}{2 + \sqrt{5}} × \frac{2 - \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}}$
$b = \frac{2 - \sqrt{5}}{(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})}$
$b = \frac{2 - \sqrt{5}}{4 - 5}$
$b = \sqrt{5} - 2$
然后，我们计算$a+b+ab$：
$a+b+ab = (- 2 - \sqrt{5}) + (\sqrt{5} - 2) + (- 2 - \sqrt{5})(\sqrt{5} - 2)$
$= - 4+(-5-4)$
$=- 5$
【答案】：
C

4. 化简$x\sqrt {-\frac {x+1}{x^{2}}}$的结果是(D)
A.$\sqrt {-x-1}$；
B.$-\sqrt {-x+1}$；
C.$\sqrt {x+1}$；
D.$-\sqrt {-x-1}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察根式的化简以及二次根式有意义的条件。
首先，为了使二次根式$\sqrt {-\frac {x+1}{x^{2}}}$有意义，需要满足$-\frac {x+1}{x^{2}} \geq 0$，
即$x+1 \leq 0$和$x \neq 0$，
解得$x \lt -1$。
接下来，我们将原式进行化简：
$x\sqrt {-\frac {x+1}{x^{2}}}$
$=x \cdot \frac{\sqrt {-(x+1)}}{\sqrt {x^2}}$
由于$x \lt -1$，所以$x$是负数，因此$\sqrt {x^2} = -x$，
所以原式可以进一步化简为：
$=x \cdot \frac{\sqrt {-(x+1)}}{-x}$
$= -\sqrt {-(x+1)}$
$= -\sqrt {-x-1}$
【答案】：D

5. 算式$\sqrt {6}×(\frac {1}{\sqrt {3}}-1)$的结果是(A)
A.$\sqrt {2}-\sqrt {6}$；
B.$\sqrt {2}-1$；
C.$2-\sqrt {6}$；
D.1.

答案： 【解析】：
本题主要考查二次根式的混合运算。
根据乘法分配律可得算式：
$\sqrt {6}×(\frac {1}{\sqrt {3}}-1)=\sqrt {6}× \frac {1}{\sqrt {3}}-\sqrt {6}× 1$
$=\sqrt {2}-\sqrt {6}$
【答案】：
A.$\sqrt {2}-\sqrt {6}$。

6. 算式$\sqrt {18}-\sqrt {2}$的结果是(C)
A.4；
B.3；
C.$2\sqrt {2}$；
D.$\sqrt {2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次根式的化简与计算。
首先，我们需要将$\sqrt{18}$化为最简形式。
由于$18 = 9 × 2$，所以$\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = \sqrt{9} × \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$。
接着，我们将化简后的$\sqrt{18}$代入原式进行计算：
$\sqrt{18} - \sqrt{2} = 3\sqrt{2} - \sqrt{2}$
由于两个根式下的数都是2，所以我们可以直接进行加减运算：
$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = (3-1)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
【答案】：
C. $2\sqrt{2}$。

7. 计算：$(-\sqrt {3})^{2}= $3.

答案： 【解析】：
本题主要考查二次根式的性质，即$(\sqrt{a})^{2} = a$（其中$a \geq 0$）以及负数的平方性质。
根据这些性质，我们可以将$(-\sqrt{3})^{2}$拆分为$(-1)^{2} × (\sqrt{3})^{2}$。
由于$(-1)^{2} = 1$，$(\sqrt{3})^{2} = 3$，所以$(-\sqrt{3})^{2} = 1 × 3 = 3$。
【答案】：
$3$

8. 计算：$\sqrt {\frac {1}{6}}×\sqrt {96}÷\sqrt {6}= $$\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

答案： 解：$\sqrt{\frac{1}{6}} × \sqrt{96} ÷ \sqrt{6}$
$=\sqrt{\frac{1}{6} × 96} ÷ \sqrt{6}$
$=\sqrt{16} ÷ \sqrt{6}$
$=4 ÷ \sqrt{6}$
$=\frac{4}{\sqrt{6}}$
$=\frac{4\sqrt{6}}{6}$
$=\frac{2\sqrt{6}}{3}$
$\frac{2\sqrt{6}}{3}$

9. 化简$\frac {3}{\sqrt {3}}$的结果是$\sqrt{3}$.

答案： 【解析】：
本题考查二次根式的化简。为了去除分母中的根号，我们可以采用有理化的方法，即乘以分母的共轭式（对于本题即$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$）。
具体步骤如下：
1. 将原式写为：
$\frac{3}{\sqrt{3}}$
2. 为了有理化分母，我们同时乘以$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$：
$\frac{3}{\sqrt{3}} × \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3}$
3. 化简得到：
$\sqrt{3}$
【答案】：
$\sqrt{3}$

10. 计算：$\frac {\sqrt {40}+\sqrt {5}}{\sqrt {5}}= $$2\sqrt{2} + 1$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次根式的化简与运算。
首先，我们需要将分子中的每一项都除以分母，即：
$\frac{\sqrt{40} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{40}}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$
然后，我们利用二次根式的除法法则，即$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（其中$a \geq 0$，$b ＞ 0$）进行化简：
$= \sqrt{\frac{40}{5}} + \sqrt{\frac{5}{5}}$
$= \sqrt{8} + 1$
最后，我们将$\sqrt{8}$化为最简形式，即$2\sqrt{2}$，得到：
$= 2\sqrt{2} + 1$
【答案】：
$2\sqrt{2} + 1$

11. 计算：$(\sqrt {3}+\sqrt {2})-\sqrt {3}$的结果是$\sqrt {2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查二次根式的加减运算。根据二次根式的加减法则，同类二次根式可以直接进行加减。在本题中，我们需要将$(\sqrt {3}+\sqrt {2})-\sqrt {3}$中的同类二次根式进行合并。
首先，我们可以将原式拆分为两部分：$\sqrt {3}$和$\sqrt {2}$，然后再减去$\sqrt {3}$。即：
$(\sqrt {3}+\sqrt {2})-\sqrt {3} = \sqrt {3} + \sqrt {2} - \sqrt {3}$
然后，我们可以将相同的二次根式进行合并，即$\sqrt {3} - \sqrt {3}$，得到0，所以：
$\sqrt {3} + \sqrt {2} - \sqrt {3} = \sqrt {2}$
【答案】：
$\sqrt {2}$

12. 计算：$6\sqrt {5}-10\sqrt {\frac {1}{5}}$的结果是$4\sqrt{5}$.

答案： 【解析】：
本题考查二次根式的加减运算。
首先，我们需要将$10\sqrt{\frac{1}{5}}$化为最简形式。
根据根式的性质，我们有：
$10\sqrt{\frac{1}{5}} = 10 × \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}} = 10 × \frac{1}{\sqrt{5}} = 10 × \frac{\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$
然后，我们将原式中的各项进行合并：
$6\sqrt{5} - 10\sqrt{\frac{1}{5}} = 6\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$
【答案】：
$4\sqrt{5}$

13. 计算：$(\sqrt {6}+\sqrt {3})(\sqrt {6}-\sqrt {3})$的结果是______3.

答案： 【解析】：
本题考查二次根式的乘法运算，具体是平方差公式的应用。
平方差公式为$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$，在本题中，$a = \sqrt{6}$，$b = \sqrt{3}$。
根据平方差公式，原式可以表示为：
$(\sqrt {6}+\sqrt {3})(\sqrt {6}-\sqrt {3}) = (\sqrt {6})^2 - (\sqrt {3})^2$
$= 6 - 3$
$= 3$
【答案】：
3

14. 比较大小：$\sqrt {3}-\sqrt {2}$＞$2-\sqrt {3}$(填“＞”“＝”或“＜”).

答案： 【解析】：
首先，我们考虑两个数的倒数。
对于 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$，其倒数为 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$，通过有理化分母，我们得到：
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
同理，对于 $2 + \sqrt{3}$，其倒数为 $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$，通过有理化分母，我们得到：
$\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$
由于 $\sqrt{3} + \sqrt{2} ＜ 2 + \sqrt{3}$，根据倒数的性质，当数a小于数b时，$\frac{1}{a} ＞ \frac{1}{b}$（a，b均为正数）。
所以，$\sqrt{3} - \sqrt{2} ＞ 2 - \sqrt{3}$。
【答案】：
＞

15. 如图,矩形内有两个相邻的正方形,它们的面积分别为4和2,则阴影部分的面积为______.

$2\sqrt{2}-2$

答案： 【解析】：
根据正方形的面积公式，面积等于边长的平方，我们可以先求出两个正方形的边长。
已知正方形面积分别为4和2，所以它们的边长分别为$\sqrt{4} =2$和$\sqrt{2}$。
观察图形可知，两个正方形的一条边为矩形的长边，两个正方形的边长相加为矩形的宽，其中一个正方形的边长为矩形的宽，所以矩形的长为$2+\sqrt{2}$，宽为2，所以矩形的面积为$2× (2+\sqrt{2})=4+2\sqrt{2}$。
再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积和，即阴影部分的面积为：
$4+2\sqrt{2}-(4+2)=2\sqrt{2}-2$。
【答案】：$2\sqrt{2}-2$。