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1. 已知$a^{3}= \frac {1}{8},b^{3}= 216$,c 是 100 的算术平方根,求$(b+c)^{a}$的值.
答案：
【解析】：
本题主要考查了立方根、算术平方根以及指数幂的运算。
首先，根据题目给出的$a^{3} = \frac{1}{8}$，可以求出$a$的值。
由于$(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$，
所以$a = \frac{1}{2}$。
接着，根据题目给出的$b^{3} = 216$，可以求出$b$的值。
由于$6^{3} = 216$，
所以$b = 6$。
最后，根据题目给出的$c$是$100$的算术平方根，可以求出$c$的值。
由于$10^{2} = 100$，
所以$c = 10$。
现在，已经得到了$a$、$b$和$c$的值，接下来将这些值代入$(b+c)^{a}$中求解。
$(b+c)^{a} = (6+10)^{\frac{1}{2}} = 16^{\frac{1}{2}} = 4$
【答案】：
$(b+c)^{a}=4$。
本题主要考查了立方根、算术平方根以及指数幂的运算。
首先，根据题目给出的$a^{3} = \frac{1}{8}$，可以求出$a$的值。
由于$(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$，
所以$a = \frac{1}{2}$。
接着，根据题目给出的$b^{3} = 216$，可以求出$b$的值。
由于$6^{3} = 216$，
所以$b = 6$。
最后，根据题目给出的$c$是$100$的算术平方根，可以求出$c$的值。
由于$10^{2} = 100$，
所以$c = 10$。
现在，已经得到了$a$、$b$和$c$的值，接下来将这些值代入$(b+c)^{a}$中求解。
$(b+c)^{a} = (6+10)^{\frac{1}{2}} = 16^{\frac{1}{2}} = 4$
【答案】：
$(b+c)^{a}=4$。
2. 如图,若正方形 BEFG 的面积为 6,正方形 ABCD 的面积为 8,则$\triangle GCE$的面积是______
$2\sqrt{3}-3$
.
答案：
1. 首先，根据正方形面积公式$S = a^{2}$（$S$为正方形面积，$a$为边长）：
已知正方形$BEFG$的面积$S_{BEFG}=6$，则$BE = \sqrt{6}$；正方形$ABCD$的面积$S_{ABCD}=8$，则$BC=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
所以$CE=BC - BE=2\sqrt{2}-\sqrt{6}$。
2. 然后，过点$G$作$GH\perp CE$于点$H$：
因为$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle GHE = 90^{\circ}$，$\angle GEB+\angle HGE = 90^{\circ}$，$\angle GEB+\angle ECB = 90^{\circ}$，所以$\angle HGE=\angle ECB$，又$\angle GHE=\angle EBC = 90^{\circ}$，$GE = BE$，则$\triangle GHE\cong\triangle EBC(AAS)$（这里也可根据正方形性质，$GH = BE$）。
由正方形$BEFG$知$GH = BE=\sqrt{6}$。
3. 最后，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高）：
对于$\triangle GCE$，$a = CE=2\sqrt{2}-\sqrt{6}$，$h = GH=\sqrt{6}$。
则$S_{\triangle GCE}=\frac{1}{2}× CE× GH=\frac{1}{2}×(2\sqrt{2}-\sqrt{6})×\sqrt{6}$。
展开式子：$S_{\triangle GCE}=\frac{1}{2}×(2\sqrt{2}×\sqrt{6}-\sqrt{6}×\sqrt{6})=\frac{1}{2}×(2\sqrt{12}-6)$。
因为$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，所以$S_{\triangle GCE}=\frac{1}{2}×(4\sqrt{3}-6)=2\sqrt{3}-3$。
故$\triangle GCE$的面积是$2\sqrt{3}-3$。
已知正方形$BEFG$的面积$S_{BEFG}=6$，则$BE = \sqrt{6}$；正方形$ABCD$的面积$S_{ABCD}=8$，则$BC=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
所以$CE=BC - BE=2\sqrt{2}-\sqrt{6}$。
2. 然后，过点$G$作$GH\perp CE$于点$H$：
因为$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle GHE = 90^{\circ}$，$\angle GEB+\angle HGE = 90^{\circ}$，$\angle GEB+\angle ECB = 90^{\circ}$，所以$\angle HGE=\angle ECB$，又$\angle GHE=\angle EBC = 90^{\circ}$，$GE = BE$，则$\triangle GHE\cong\triangle EBC(AAS)$（这里也可根据正方形性质，$GH = BE$）。
由正方形$BEFG$知$GH = BE=\sqrt{6}$。
3. 最后，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高）：
对于$\triangle GCE$，$a = CE=2\sqrt{2}-\sqrt{6}$，$h = GH=\sqrt{6}$。
则$S_{\triangle GCE}=\frac{1}{2}× CE× GH=\frac{1}{2}×(2\sqrt{2}-\sqrt{6})×\sqrt{6}$。
展开式子：$S_{\triangle GCE}=\frac{1}{2}×(2\sqrt{2}×\sqrt{6}-\sqrt{6}×\sqrt{6})=\frac{1}{2}×(2\sqrt{12}-6)$。
因为$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，所以$S_{\triangle GCE}=\frac{1}{2}×(4\sqrt{3}-6)=2\sqrt{3}-3$。
故$\triangle GCE$的面积是$2\sqrt{3}-3$。
3. 如图,在引入无理数的时候,我们把两个边长都为 1 的正方形,剪拼成了一个边长为$\sqrt {2}$的正方形.类似的,若正方形 ABCD 的边长为 2,AC 长为 a,则下列说法中正确的有(
①a 可以用数轴上的一个点来表示；②$3\lt a＜4$；③$a= 2\sqrt {2}$；④$\sqrt {a^{2}}= a$；⑤a 是有理数.
A.2 个；
B.3 个；
C.4 个；
D.5 个.
B
)①a 可以用数轴上的一个点来表示；②$3\lt a＜4$；③$a= 2\sqrt {2}$；④$\sqrt {a^{2}}= a$；⑤a 是有理数.
A.2 个；
B.3 个；
C.4 个；
D.5 个.
答案：
解：
∵正方形ABCD边长为2，AC为对角线，
∴由勾股定理得：$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 2^2 + 2^2 = 8$，
∴$a = AC = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$（③正确）。
①实数与数轴上的点一一对应，$a=2\sqrt{2}$是实数，故①正确；
②$2\sqrt{2} \approx 2.828$，则$2 ＜ a ＜ 3$，故②错误；
④$\sqrt{a^2} = |a| = a$（$a＞0$），故④正确；
⑤$2\sqrt{2}$是无理数，故⑤错误。
综上，正确的有①③④，共3个。
答案：B
∵正方形ABCD边长为2，AC为对角线，
∴由勾股定理得：$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 2^2 + 2^2 = 8$，
∴$a = AC = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$（③正确）。
①实数与数轴上的点一一对应，$a=2\sqrt{2}$是实数，故①正确；
②$2\sqrt{2} \approx 2.828$，则$2 ＜ a ＜ 3$，故②错误；
④$\sqrt{a^2} = |a| = a$（$a＞0$），故④正确；
⑤$2\sqrt{2}$是无理数，故⑤错误。
综上，正确的有①③④，共3个。
答案：B
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