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4. 对于实数 a,我们规定用$\{ a\}表示不小于\sqrt {a}$的最小整数,称$\{ a\}$为 a 的根整数,如$\{ \sqrt {10}\} = 4$.
(1)计算：$\{ \sqrt {9}\} = $
(2)若$\{ \sqrt {m}\} = 2$,写出满足题意的 m 的整数值；
(3)现对 a 进行连续求根整数,直到结果为 2 为止.例如对 12 进行连续求根整数,第一次$\{ \sqrt {12}\} = 4$,再进行第二次求根整数$\{ \sqrt {4}\} = 2$,表示对 12 连续求根整数 2 次可得结果为 2.对 100 进行连续求根整数,
(1)计算：$\{ \sqrt {9}\} = $
3
；(2)若$\{ \sqrt {m}\} = 2$,写出满足题意的 m 的整数值；
2，3，4
(3)现对 a 进行连续求根整数,直到结果为 2 为止.例如对 12 进行连续求根整数,第一次$\{ \sqrt {12}\} = 4$,再进行第二次求根整数$\{ \sqrt {4}\} = 2$,表示对 12 连续求根整数 2 次可得结果为 2.对 100 进行连续求根整数,
3
次后结果为 2.
答案：
【分析】：
题目主要考查了无理数的估算及新定义的理解和应用，以及连续求根整数的计算。
对于第一问，需要找到不小于$\sqrt{9}$的最小整数。
对于第二问，需要找到满足${ \sqrt {m}} = 2$的$m$的整数值。
对于第三问，需要对100进行连续求根整数，直到结果为2，并计算所需的次数。
【解答】：
（1）
因为$\sqrt{9}=3$，
根据题目中的新定义，${ \sqrt {9}}$表示不小于$\sqrt{9}$的最小整数，
所以${ \sqrt {9}} = 3$。
（2）
因为${ \sqrt {m}} = 2$，
所以$1＜\sqrt{m} \leq 2$，即$1＜m \leq 4$，
因为$m$为整数，
所以$m$的整数值为$2, 3, 4$。
（3）
首先，对100进行第一次求根整数：
因为$10^2=100$，所以$\sqrt{100} = 10$，
根据新定义，${ \sqrt {100}} = 10$（因为10是不小于$\sqrt{100}$的最小整数）。
然后，对10进行第二次求根整数：
因为$3^2=9＜10＜4^2=16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$，
根据新定义，${ \sqrt {10}} = 4$（因为4是不小于$\sqrt{10}$的最小整数）。
最后，对4进行第三次求根整数：
因为$2^2=4$，所以$\sqrt{4} = 2$，
根据新定义，${ \sqrt {4}} = 2$。
因此，对100进行连续求根整数，3次后结果为2。
题目主要考查了无理数的估算及新定义的理解和应用，以及连续求根整数的计算。
对于第一问，需要找到不小于$\sqrt{9}$的最小整数。
对于第二问，需要找到满足${ \sqrt {m}} = 2$的$m$的整数值。
对于第三问，需要对100进行连续求根整数，直到结果为2，并计算所需的次数。
【解答】：
（1）
因为$\sqrt{9}=3$，
根据题目中的新定义，${ \sqrt {9}}$表示不小于$\sqrt{9}$的最小整数，
所以${ \sqrt {9}} = 3$。
（2）
因为${ \sqrt {m}} = 2$，
所以$1＜\sqrt{m} \leq 2$，即$1＜m \leq 4$，
因为$m$为整数，
所以$m$的整数值为$2, 3, 4$。
（3）
首先，对100进行第一次求根整数：
因为$10^2=100$，所以$\sqrt{100} = 10$，
根据新定义，${ \sqrt {100}} = 10$（因为10是不小于$\sqrt{100}$的最小整数）。
然后，对10进行第二次求根整数：
因为$3^2=9＜10＜4^2=16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$，
根据新定义，${ \sqrt {10}} = 4$（因为4是不小于$\sqrt{10}$的最小整数）。
最后，对4进行第三次求根整数：
因为$2^2=4$，所以$\sqrt{4} = 2$，
根据新定义，${ \sqrt {4}} = 2$。
因此，对100进行连续求根整数，3次后结果为2。
5. 学习了无理数后,某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算$\sqrt {13}$的近似值.小明的方法：
$\because \sqrt {9}＜\sqrt {13}＜\sqrt {16}$,设$\sqrt {13}= 3+k(0\lt k＜1)$,
$\therefore (\sqrt {13})^{2}= (3+k)^{2}$,
$\therefore 13= 9+6k+k^{2}$,
$\therefore 13\approx 9+6k$,解得$k\approx \frac {4}{6}$,
$\therefore \sqrt {13}\approx 3+\frac {4}{6}\approx 3.67$.
上述方法中使用了完全平方公式：$(a+b)^{2}= a^{2}+2ab+b^{2}$,下面可参考使用.
问题：
(1)请你依照小明的方法,估算$\sqrt {37}\approx$
(2)请结合上述具体实例,概括出估算$\sqrt {m}$的公式：已知非负整数 a、b、m,若$a＜\sqrt {m}\lt a+1$,且$m= a^{2}+b$,则$\sqrt {m}\approx$
$\because \sqrt {9}＜\sqrt {13}＜\sqrt {16}$,设$\sqrt {13}= 3+k(0\lt k＜1)$,
$\therefore (\sqrt {13})^{2}= (3+k)^{2}$,
$\therefore 13= 9+6k+k^{2}$,
$\therefore 13\approx 9+6k$,解得$k\approx \frac {4}{6}$,
$\therefore \sqrt {13}\approx 3+\frac {4}{6}\approx 3.67$.
上述方法中使用了完全平方公式：$(a+b)^{2}= a^{2}+2ab+b^{2}$,下面可参考使用.
问题：
(1)请你依照小明的方法,估算$\sqrt {37}\approx$
6.08
(结果保留两位小数)；(2)请结合上述具体实例,概括出估算$\sqrt {m}$的公式：已知非负整数 a、b、m,若$a＜\sqrt {m}\lt a+1$,且$m= a^{2}+b$,则$\sqrt {m}\approx$
$a + \frac{b}{2a}$
(用含 a、b 的代数式表示).
答案：
【解析】：
(1)首先，我们需要找到两个完全平方数，使得37位于它们之间。
由于$6^2 = 36$且$7^2 = 49$，所以有$36 ＜ 37 ＜ 49$。
设$\sqrt{37} = 6 + k$，其中$0 ＜ k ＜ 1$。
对等式两边平方，得到：
$37 = 36 + 12k + k^2$
由于$k$是一个小于1的正数，因此$k^2$的值会远小于$12k$，所以我们可以近似地忽略$k^2$项，从而得到：
$37 \approx 36 + 12k$
解这个方程，我们得到：
$k \approx \frac{1}{12} \approx 0.0833$
将其转化为百分比形式，并保留两位小数，我们得到：
$\sqrt{37} \approx 6 + 0.0833 \approx 6.08$（保留两位小数）
(2)对于给定的条件，设$\sqrt{m} = a + k$，其中$0 ＜ k ＜ 1$。
平方两边，得到：
$m = a^2 + 2ak + k^2$
忽略$k^2$项（因为$k^2$的值远小于$2ak$），我们得到：
$m \approx a^2 + 2ak$
又因为题目给出$m = a^2 + b$，所以：
$a^2 + b \approx a^2 + 2ak$
从中我们可以解出$k$：
$k \approx \frac{b}{2a}$
因此，估算公式为：
$\sqrt{m} \approx a + \frac{b}{2a}$
【答案】：
(1)$6.08$
(2)$a + \frac{b}{2a}$
(1)首先，我们需要找到两个完全平方数，使得37位于它们之间。
由于$6^2 = 36$且$7^2 = 49$，所以有$36 ＜ 37 ＜ 49$。
设$\sqrt{37} = 6 + k$，其中$0 ＜ k ＜ 1$。
对等式两边平方，得到：
$37 = 36 + 12k + k^2$
由于$k$是一个小于1的正数，因此$k^2$的值会远小于$12k$，所以我们可以近似地忽略$k^2$项，从而得到：
$37 \approx 36 + 12k$
解这个方程，我们得到：
$k \approx \frac{1}{12} \approx 0.0833$
将其转化为百分比形式，并保留两位小数，我们得到：
$\sqrt{37} \approx 6 + 0.0833 \approx 6.08$（保留两位小数）
(2)对于给定的条件，设$\sqrt{m} = a + k$，其中$0 ＜ k ＜ 1$。
平方两边，得到：
$m = a^2 + 2ak + k^2$
忽略$k^2$项（因为$k^2$的值远小于$2ak$），我们得到：
$m \approx a^2 + 2ak$
又因为题目给出$m = a^2 + b$，所以：
$a^2 + b \approx a^2 + 2ak$
从中我们可以解出$k$：
$k \approx \frac{b}{2a}$
因此，估算公式为：
$\sqrt{m} \approx a + \frac{b}{2a}$
【答案】：
(1)$6.08$
(2)$a + \frac{b}{2a}$
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