搜索
17. 计算：$\frac {1}{2}\sqrt {3}-\frac {1}{2}\sqrt {5}= $
-0.25
($\sqrt {5}\approx 2.236$,$\sqrt {3}\approx 1.732$,结果保留 2 位小数).
答案：
【解析】：
本题主要考查二次根式的加减运算以及近似值的计算。
首先，我们将原式中的根号部分替换为近似值，然后进行计算。
原式为：
$\frac {1}{2}\sqrt {3}-\frac {1}{2}\sqrt {5}$
替换近似值后得：
$= \frac{1}{2} × 1.732 - \frac{1}{2} × 2.236$
$= 0.866 - 1.118$
$= - 0.252$
由于题目要求结果保留2位小数，所以我们需要对结果进行四舍五入：
$\approx - 0.25$
【答案】：$- 0.25$
本题主要考查二次根式的加减运算以及近似值的计算。
首先，我们将原式中的根号部分替换为近似值，然后进行计算。
原式为：
$\frac {1}{2}\sqrt {3}-\frac {1}{2}\sqrt {5}$
替换近似值后得：
$= \frac{1}{2} × 1.732 - \frac{1}{2} × 2.236$
$= 0.866 - 1.118$
$= - 0.252$
由于题目要求结果保留2位小数，所以我们需要对结果进行四舍五入：
$\approx - 0.25$
【答案】：$- 0.25$
18. 如果$\sqrt {11}$是介于两个连续整数a和b之间的无理数($a ＜ b$),那么$a^{b}= $
81
.
答案：
【解析】：
首先，我们需要确定$\sqrt{11}$位于哪两个连续整数之间。
由于$9 ＜ 11 ＜ 16$，对三个数分别开平方根，得到
$3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4$
由此可知，$a = 3$，$b = 4$。
接下来，我们需要计算$a^b$。
根据指数的定义，我们有
$a^b = 3^4 = 81$
【答案】：
$81$
首先，我们需要确定$\sqrt{11}$位于哪两个连续整数之间。
由于$9 ＜ 11 ＜ 16$，对三个数分别开平方根，得到
$3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4$
由此可知，$a = 3$，$b = 4$。
接下来，我们需要计算$a^b$。
根据指数的定义，我们有
$a^b = 3^4 = 81$
【答案】：
$81$
19. 计算：$\frac {1}{2}\sqrt {11}+\frac {2}{3}\sqrt {11}-\frac {3}{2}\sqrt {11}$.
答案：
【解析】：
本题考查二次根式的加减运算。
首先，我们需要找到同类二次根式，即具有相同根指数和被开方数的二次根式。
在本题中，所有的二次根式都是$\sqrt{11}$，因此它们都是同类二次根式。
然后，我们可以将同类二次根式的系数进行加减运算。
具体步骤如下：
1. 提取同类二次根式的系数：$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，$-\frac{3}{2}$。
2. 对这些系数进行加减运算：
$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{3}{2}$
为了进行加减，我们需要找到这些分数的最小公倍数作为通分母。
在这里，最小公倍数为6。
3. 对分数进行通分并加减：
$\frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{9}{6} = \frac{3+4-9}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$
4. 将得到的结果与$\sqrt{11}$相乘：
$-\frac{1}{3}\sqrt{11}$
【答案】：
$-\frac{1}{3}\sqrt{11}$
本题考查二次根式的加减运算。
首先，我们需要找到同类二次根式，即具有相同根指数和被开方数的二次根式。
在本题中，所有的二次根式都是$\sqrt{11}$，因此它们都是同类二次根式。
然后，我们可以将同类二次根式的系数进行加减运算。
具体步骤如下：
1. 提取同类二次根式的系数：$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，$-\frac{3}{2}$。
2. 对这些系数进行加减运算：
$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{3}{2}$
为了进行加减，我们需要找到这些分数的最小公倍数作为通分母。
在这里，最小公倍数为6。
3. 对分数进行通分并加减：
$\frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{9}{6} = \frac{3+4-9}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$
4. 将得到的结果与$\sqrt{11}$相乘：
$-\frac{1}{3}\sqrt{11}$
【答案】：
$-\frac{1}{3}\sqrt{11}$
20. 计算：$(\sqrt {5})^{2}-(\sqrt {13})^{2}+\sqrt [3]{125}$.
答案：
【解析】：
本题主要考查二次根式的性质与立方根的计算。
根据二次根式的性质，我们有$(\sqrt{a})^{2} = a$ (其中a为非负数)；
同时，根据立方根的定义，我们知道$\sqrt[3]{a^{3}} = a$。
所以，我们可以对原式进行逐步计算。
【答案】：
解：
$(\sqrt {5})^{2}-(\sqrt {13})^{2}+\sqrt [3]{125}$
$= 5 - 13 + 5$
$= -3$
本题主要考查二次根式的性质与立方根的计算。
根据二次根式的性质，我们有$(\sqrt{a})^{2} = a$ (其中a为非负数)；
同时，根据立方根的定义，我们知道$\sqrt[3]{a^{3}} = a$。
所以，我们可以对原式进行逐步计算。
【答案】：
解：
$(\sqrt {5})^{2}-(\sqrt {13})^{2}+\sqrt [3]{125}$
$= 5 - 13 + 5$
$= -3$
21. (1)已知$2x-1的平方根是\pm 6$,$2x+y-1$的算术平方根是 5,求$2x-3y+11$的平方根；
(2)已知正数$x的平方根是2a+3和1-3a$,$y的立方根是a$,求$x+y$的值.
(2)已知正数$x的平方根是2a+3和1-3a$,$y的立方根是a$,求$x+y$的值.
答案：
(1)解：因为$2x - 1$的平方根是$\pm 6$，所以$2x - 1 = (\pm 6)^2 = 36$，解得$2x = 37$，$x=\frac{37}{2}$。
因为$2x + y - 1$的算术平方根是$5$，所以$2x + y - 1 = 5^2 = 25$，将$2x = 37$代入得$37 + y - 1 = 25$，解得$y = -11$。
则$2x - 3y + 11 = 37 - 3×(-11) + 11 = 37 + 33 + 11 = 81$，所以$2x - 3y + 11$的平方根是$\pm 9$。
(2)解：因为正数$x$的平方根是$2a + 3$和$1 - 3a$，所以$2a + 3 + 1 - 3a = 0$，解得$-a + 4 = 0$，$a = 4$。
则$2a + 3 = 2×4 + 3 = 11$，所以$x = 11^2 = 121$。
因为$y$的立方根是$a$，所以$y = a^3 = 4^3 = 64$。
所以$x + y = 121 + 64 = 185$。
(1)解：因为$2x - 1$的平方根是$\pm 6$，所以$2x - 1 = (\pm 6)^2 = 36$，解得$2x = 37$，$x=\frac{37}{2}$。
因为$2x + y - 1$的算术平方根是$5$，所以$2x + y - 1 = 5^2 = 25$，将$2x = 37$代入得$37 + y - 1 = 25$，解得$y = -11$。
则$2x - 3y + 11 = 37 - 3×(-11) + 11 = 37 + 33 + 11 = 81$，所以$2x - 3y + 11$的平方根是$\pm 9$。
(2)解：因为正数$x$的平方根是$2a + 3$和$1 - 3a$，所以$2a + 3 + 1 - 3a = 0$，解得$-a + 4 = 0$，$a = 4$。
则$2a + 3 = 2×4 + 3 = 11$，所以$x = 11^2 = 121$。
因为$y$的立方根是$a$，所以$y = a^3 = 4^3 = 64$。
所以$x + y = 121 + 64 = 185$。
思维与拓展 7
阅读下列材料:有一类根式的化简过程如下:
$\sqrt {3-2\sqrt {2}}= \sqrt {2-2\sqrt {2×1}+1}= \sqrt {(\sqrt {2})^{2}-2\sqrt {2}×\sqrt {1}+(\sqrt {1})^{2}}= \sqrt {(\sqrt {2}-1)^{2}}= \sqrt {2}-1$.
模仿上述方法,化简下列根式:
(1)$\sqrt {3+2\sqrt {2}}= $______；
(2)$\sqrt {5\pm 2\sqrt {6}}= $______；
(3)经过阅读、模仿后,你会解决下列一般性问题吗?
化简根式:$\sqrt {(m+n)\pm 2\sqrt {m\cdot n}}$(其中$m$、$n$是正整数,且$m ＞ n$).
阅读下列材料:有一类根式的化简过程如下:
$\sqrt {3-2\sqrt {2}}= \sqrt {2-2\sqrt {2×1}+1}= \sqrt {(\sqrt {2})^{2}-2\sqrt {2}×\sqrt {1}+(\sqrt {1})^{2}}= \sqrt {(\sqrt {2}-1)^{2}}= \sqrt {2}-1$.
模仿上述方法,化简下列根式:
(1)$\sqrt {3+2\sqrt {2}}= $______；
(2)$\sqrt {5\pm 2\sqrt {6}}= $______；
(3)经过阅读、模仿后,你会解决下列一般性问题吗?
化简根式:$\sqrt {(m+n)\pm 2\sqrt {m\cdot n}}$(其中$m$、$n$是正整数,且$m ＞ n$).
答案：
【解析】：
本题主要考察的是二次根式的化简，特别是如何利用完全平方公式进行化简。
对于形如$\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$的根式，我们可以尝试将其表示为完全平方的形式，从而简化表达式。
(1) 对于$\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$，我们可以将其表示为$\sqrt{2 + 2\sqrt{2} + 1}$，这正好是$(\sqrt{2} + 1)^{2}$的形式，所以$\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^{2}} = \sqrt{2} + 1$。
(2) 对于$\sqrt{5 \pm 2\sqrt{6}}$，我们可以将其分别表示为$\sqrt{3 + 2\sqrt{6} + 2}$和$\sqrt{3 - 2\sqrt{6} + 2}$，它们分别是$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2}$和$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2}$的形式，所以$\sqrt{5 \pm 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} \pm \sqrt{2}$。
(3) 对于一般形式的$\sqrt{(m+n) \pm 2\sqrt{mn}}$，我们可以直接利用完全平方公式将其化简为$\sqrt{m} \pm \sqrt{n}$。
【答案】：
(1) $\sqrt{2} + 1$
(2) $\sqrt{3} \pm \sqrt{2}$
(3) $\sqrt{m} \pm \sqrt{n}$
本题主要考察的是二次根式的化简，特别是如何利用完全平方公式进行化简。
对于形如$\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$的根式，我们可以尝试将其表示为完全平方的形式，从而简化表达式。
(1) 对于$\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$，我们可以将其表示为$\sqrt{2 + 2\sqrt{2} + 1}$，这正好是$(\sqrt{2} + 1)^{2}$的形式，所以$\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^{2}} = \sqrt{2} + 1$。
(2) 对于$\sqrt{5 \pm 2\sqrt{6}}$，我们可以将其分别表示为$\sqrt{3 + 2\sqrt{6} + 2}$和$\sqrt{3 - 2\sqrt{6} + 2}$，它们分别是$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2}$和$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2}$的形式，所以$\sqrt{5 \pm 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} \pm \sqrt{2}$。
(3) 对于一般形式的$\sqrt{(m+n) \pm 2\sqrt{mn}}$，我们可以直接利用完全平方公式将其化简为$\sqrt{m} \pm \sqrt{n}$。
【答案】：
(1) $\sqrt{2} + 1$
(2) $\sqrt{3} \pm \sqrt{2}$
(3) $\sqrt{m} \pm \sqrt{n}$
查看更多完整答案，请扫码查看
