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14. 计算:
(1)$-\frac {3}{4}\sqrt {3}+\frac {3}{5}\sqrt {3}+\frac {1}{2}\sqrt {3}-\frac {3}{10}\sqrt {3};$ (2)$2\sqrt {2x}-\sqrt {2x}+\frac {1}{3}\sqrt {2x};$
(3)$4\sqrt {\frac {a}{2}}+6a\sqrt {\frac {2}{a}}-\sqrt {8a};$ (4)$\frac {2}{3}\sqrt {9x}-(2x\sqrt {\frac {1}{x}}-6\sqrt {\frac {x}{4}}).$
(1)$-\frac {3}{4}\sqrt {3}+\frac {3}{5}\sqrt {3}+\frac {1}{2}\sqrt {3}-\frac {3}{10}\sqrt {3};$ (2)$2\sqrt {2x}-\sqrt {2x}+\frac {1}{3}\sqrt {2x};$
(3)$4\sqrt {\frac {a}{2}}+6a\sqrt {\frac {2}{a}}-\sqrt {8a};$ (4)$\frac {2}{3}\sqrt {9x}-(2x\sqrt {\frac {1}{x}}-6\sqrt {\frac {x}{4}}).$
答案：
(1)解：原式$=(-\frac{3}{4}+\frac{3}{5}+\frac{1}{2}-\frac{3}{10})\sqrt{3}$
$=(-\frac{15}{20}+\frac{12}{20}+\frac{10}{20}-\frac{6}{20})\sqrt{3}$
$=\frac{1}{20}\sqrt{3}$
(2)解：原式$=(2 - 1+\frac{1}{3})\sqrt{2x}$
$=\frac{4}{3}\sqrt{2x}$
(3)解：原式$=4×\frac{\sqrt{2a}}{2}+6a×\frac{\sqrt{2a}}{a}-2\sqrt{2a}$
$=2\sqrt{2a}+6\sqrt{2a}-2\sqrt{2a}$
$=6\sqrt{2a}$
(4)解：原式$=\frac{2}{3}×3\sqrt{x}-(2x×\frac{\sqrt{x}}{x}-6×\frac{\sqrt{x}}{2})$
$=2\sqrt{x}-(2\sqrt{x}-3\sqrt{x})$
$=2\sqrt{x}-(-\sqrt{x})$
$=3\sqrt{x}$
(1)解：原式$=(-\frac{3}{4}+\frac{3}{5}+\frac{1}{2}-\frac{3}{10})\sqrt{3}$
$=(-\frac{15}{20}+\frac{12}{20}+\frac{10}{20}-\frac{6}{20})\sqrt{3}$
$=\frac{1}{20}\sqrt{3}$
(2)解：原式$=(2 - 1+\frac{1}{3})\sqrt{2x}$
$=\frac{4}{3}\sqrt{2x}$
(3)解：原式$=4×\frac{\sqrt{2a}}{2}+6a×\frac{\sqrt{2a}}{a}-2\sqrt{2a}$
$=2\sqrt{2a}+6\sqrt{2a}-2\sqrt{2a}$
$=6\sqrt{2a}$
(4)解：原式$=\frac{2}{3}×3\sqrt{x}-(2x×\frac{\sqrt{x}}{x}-6×\frac{\sqrt{x}}{2})$
$=2\sqrt{x}-(2\sqrt{x}-3\sqrt{x})$
$=2\sqrt{x}-(-\sqrt{x})$
$=3\sqrt{x}$
15. 已知$a= \sqrt {b-25}-\sqrt {25-b}+16$,求二次根式$\sqrt {ab}$的值.
答案：
【解析】：
本题主要考查二次根式的定义和性质。
首先，根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数。
因此，对于$\sqrt{b-25}$和$\sqrt{25-b}$，我们有以下两个不等式：
$b - 25 \geq 0$
$25 - b \geq 0$
解这两个不等式，我们得到：
$b \geq 25$
$b \leq 25$
综合这两个不等式，我们得出$b = 25$。
将$b = 25$代入原式$a = \sqrt{b-25} - \sqrt{25-b} + 16$，
我们得到：$a = \sqrt{25-25} - \sqrt{25-25} + 16 = 0 - 0 + 16 = 16$
最后，我们求$\sqrt{ab}$的值：
$\sqrt{ab} = \sqrt{16 × 25} = \sqrt{400} = 20$
【答案】：
$\sqrt{ab} = 20$。
本题主要考查二次根式的定义和性质。
首先，根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数。
因此，对于$\sqrt{b-25}$和$\sqrt{25-b}$，我们有以下两个不等式：
$b - 25 \geq 0$
$25 - b \geq 0$
解这两个不等式，我们得到：
$b \geq 25$
$b \leq 25$
综合这两个不等式，我们得出$b = 25$。
将$b = 25$代入原式$a = \sqrt{b-25} - \sqrt{25-b} + 16$，
我们得到：$a = \sqrt{25-25} - \sqrt{25-25} + 16 = 0 - 0 + 16 = 16$
最后，我们求$\sqrt{ab}$的值：
$\sqrt{ab} = \sqrt{16 × 25} = \sqrt{400} = 20$
【答案】：
$\sqrt{ab} = 20$。
16. 解不等式:$\sqrt {8}-2x＜\sqrt {18}.$
答案：
【解析】：
本题主要考查二次根式的运算以及不等式的解法。
首先，我们需要将不等式中的根号进行化简，然后解这个一元一次不等式。
化简根号：$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$，$\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2}$。
将化简后的根号代入原不等式，得到：$2\sqrt{2} - 2x ＜ 3\sqrt{2}$。
移项，得到：$-2x ＜ 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}$。
即：$-2x ＜ \sqrt{2}$。
除以-2（注意，当除以负数时，不等号的方向会反转）得到：$x ＞-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】：
$x ＞ -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
本题主要考查二次根式的运算以及不等式的解法。
首先，我们需要将不等式中的根号进行化简，然后解这个一元一次不等式。
化简根号：$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$，$\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2}$。
将化简后的根号代入原不等式，得到：$2\sqrt{2} - 2x ＜ 3\sqrt{2}$。
移项，得到：$-2x ＜ 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}$。
即：$-2x ＜ \sqrt{2}$。
除以-2（注意，当除以负数时，不等号的方向会反转）得到：$x ＞-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】：
$x ＞ -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
思维与拓展 10
对于题目“化简并求值：$\frac {1}{a}+\sqrt {\frac {1}{a^{2}}+a^{2}-2}$,其中$a= \sqrt {2}$. ”小杰与小丽两人的解答不同. 小杰的解答是:$\frac {1}{a}+\sqrt {\frac {1}{a^{2}}+a^{2}-2}= \frac {1}{a}+\sqrt {(\frac {1}{a}-a)^{2}}= \frac {1}{a}+\frac {1}{a}-a= \frac {2}{a}-a= 0;$
小丽的解答是:$\frac {1}{a}+\sqrt {\frac {1}{a^{2}}+a^{2}-2}= \frac {1}{a}+\sqrt {(a-\frac {1}{a})^{2}}= \frac {1}{a}+a-\frac {1}{a}= a= \sqrt {2}.$
谁的解答是正确的? 为什么?
对于题目“化简并求值：$\frac {1}{a}+\sqrt {\frac {1}{a^{2}}+a^{2}-2}$,其中$a= \sqrt {2}$. ”小杰与小丽两人的解答不同. 小杰的解答是:$\frac {1}{a}+\sqrt {\frac {1}{a^{2}}+a^{2}-2}= \frac {1}{a}+\sqrt {(\frac {1}{a}-a)^{2}}= \frac {1}{a}+\frac {1}{a}-a= \frac {2}{a}-a= 0;$
小丽的解答是:$\frac {1}{a}+\sqrt {\frac {1}{a^{2}}+a^{2}-2}= \frac {1}{a}+\sqrt {(a-\frac {1}{a})^{2}}= \frac {1}{a}+a-\frac {1}{a}= a= \sqrt {2}.$
谁的解答是正确的? 为什么?
答案：
【解析】：
本题主要考查二次根式的化简求值以及二次根式的性质。
首先，我们观察原式$\frac {1}{a}+\sqrt {\frac {1}{a^{2}}+a^{2}-2}$，
可以发现，$\frac {1}{a^{2}}+a^{2}-2$ 可以写成 $(\frac {1}{a}-a)^{2}$ 或 $(a-\frac {1}{a})^{2}$ 的形式。
但是，我们需要考虑到 $a$ 的取值范围和二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，
当$x$为非负数时，$\sqrt{x^2}=x$；当$x$为负数时，$\sqrt{x^2}=-x$，来确定如何开方。
对于小杰的解答：
他/她将原式化简为 $\frac {1}{a}+\sqrt {(\frac {1}{a}-a)^{2}}$，
然后直接写成 $\frac {1}{a}+\frac {1}{a}-a$，这是不正确的。
因为当 $a = \sqrt {2}$ 时，$\frac {1}{a} \lt a$，
所以 $\sqrt {(\frac {1}{a}-a)^{2}}$ 应该等于 $a-\frac {1}{a}$，而不是 $\frac {1}{a}-a$。
对于小丽的解答：
她/他将原式化简为 $\frac {1}{a}+\sqrt {(a-\frac {1}{a})^{2}}$，
然后写成 $\frac {1}{a}+a-\frac {1}{a}$，这是正确的。
因为当 $a = \sqrt {2}$ 时，$a \gt \frac {1}{a}$，
所以 $\sqrt {(a-\frac {1}{a})^{2}}$ 等于 $a-\frac {1}{a}$。
【答案】：
小丽的解答是正确的。
因为当 $a = \sqrt {2}$ 时，$\frac {1}{a} \lt a$，
所以 $\sqrt {(\frac {1}{a}-a)^{2}}$ 应该等于 $a-\frac {1}{a}$，
原式 $= \frac {1}{a}+a-\frac {1}{a} = a = \sqrt {2}$。
本题主要考查二次根式的化简求值以及二次根式的性质。
首先，我们观察原式$\frac {1}{a}+\sqrt {\frac {1}{a^{2}}+a^{2}-2}$，
可以发现，$\frac {1}{a^{2}}+a^{2}-2$ 可以写成 $(\frac {1}{a}-a)^{2}$ 或 $(a-\frac {1}{a})^{2}$ 的形式。
但是，我们需要考虑到 $a$ 的取值范围和二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，
当$x$为非负数时，$\sqrt{x^2}=x$；当$x$为负数时，$\sqrt{x^2}=-x$，来确定如何开方。
对于小杰的解答：
他/她将原式化简为 $\frac {1}{a}+\sqrt {(\frac {1}{a}-a)^{2}}$，
然后直接写成 $\frac {1}{a}+\frac {1}{a}-a$，这是不正确的。
因为当 $a = \sqrt {2}$ 时，$\frac {1}{a} \lt a$，
所以 $\sqrt {(\frac {1}{a}-a)^{2}}$ 应该等于 $a-\frac {1}{a}$，而不是 $\frac {1}{a}-a$。
对于小丽的解答：
她/他将原式化简为 $\frac {1}{a}+\sqrt {(a-\frac {1}{a})^{2}}$，
然后写成 $\frac {1}{a}+a-\frac {1}{a}$，这是正确的。
因为当 $a = \sqrt {2}$ 时，$a \gt \frac {1}{a}$，
所以 $\sqrt {(a-\frac {1}{a})^{2}}$ 等于 $a-\frac {1}{a}$。
【答案】：
小丽的解答是正确的。
因为当 $a = \sqrt {2}$ 时，$\frac {1}{a} \lt a$，
所以 $\sqrt {(\frac {1}{a}-a)^{2}}$ 应该等于 $a-\frac {1}{a}$，
原式 $= \frac {1}{a}+a-\frac {1}{a} = a = \sqrt {2}$。
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