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13. 设x是实数,当x满足什么条件时,下列各式在实数范围内有意义？
(1)$\sqrt {1-2x}$； (2)$\sqrt {x^{2}-4x+4}$；
(3)$\sqrt {\frac {2}{x-1}}$； (4)$\sqrt {\frac {1-x}{(1+x)^{2}}}$.
(1)$\sqrt {1-2x}$； (2)$\sqrt {x^{2}-4x+4}$；
(3)$\sqrt {\frac {2}{x-1}}$； (4)$\sqrt {\frac {1-x}{(1+x)^{2}}}$.
答案：
【解析】：
本题主要考查二次根式有意义的条件，即被开方数需要大于等于0。
对于不同的表达式，我们需要分别找出使被开方数大于等于0的$x$的取值范围。
(1) 对于$\sqrt{1-2x}$，我们需要解不等式$1-2x \geq 0$。
(2) 对于$\sqrt{x^{2}-4x+4}$，我们需要判断$x^{2}-4x+4$是否恒大于等于0，或者找出使其大于等于0的$x$的取值范围。
(3) 对于$\sqrt{\frac{2}{x-1}}$，我们需要解不等式$x-1 ＞ 0$，因为分母不能为0，且要保证被开方数大于0。
(4) 对于$\sqrt{\frac{1-x}{(1+x)^{2}}}$，我们需要解不等式组$\left\{ \begin{array}{l} 1-x \geq 0 \\ (1+x)^{2} ＞ 0 \end{array} \right.$，注意分母不能为0，所以要保证$(1+x)^{2} ＞ 0$。
【答案】：
(1) 解：由$1-2x \geq 0$，得$x \leq \frac{1}{2}$。
所以当$x \leq \frac{1}{2}$时，$\sqrt{1-2x}$在实数范围内有意义。
(2) 解：因为$x^{2}-4x+4 = (x-2)^{2}$，且$(x-2)^{2} \geq 0$恒成立。
所以$x$取任意实数，$\sqrt{x^{2}-4x+4}$在实数范围内都有意义。
(3) 解：由$x-1 ＞ 0$，得$x ＞ 1$。
所以当$x ＞ 1$时，$\sqrt{\frac{2}{x-1}}$在实数范围内有意义。
(4) 解：由不等式组$\left\{ \begin{array}{l} 1-x \geq 0 \\ (1+x)^{2} ＞ 0 \end{array} \right.$，
解得$x \leq 1$且$x \neq -1$。
所以当$x \leq 1$且$x \neq -1$时，$\sqrt{\frac{1-x}{(1+x)^{2}}}$在实数范围内有意义。
本题主要考查二次根式有意义的条件，即被开方数需要大于等于0。
对于不同的表达式，我们需要分别找出使被开方数大于等于0的$x$的取值范围。
(1) 对于$\sqrt{1-2x}$，我们需要解不等式$1-2x \geq 0$。
(2) 对于$\sqrt{x^{2}-4x+4}$，我们需要判断$x^{2}-4x+4$是否恒大于等于0，或者找出使其大于等于0的$x$的取值范围。
(3) 对于$\sqrt{\frac{2}{x-1}}$，我们需要解不等式$x-1 ＞ 0$，因为分母不能为0，且要保证被开方数大于0。
(4) 对于$\sqrt{\frac{1-x}{(1+x)^{2}}}$，我们需要解不等式组$\left\{ \begin{array}{l} 1-x \geq 0 \\ (1+x)^{2} ＞ 0 \end{array} \right.$，注意分母不能为0，所以要保证$(1+x)^{2} ＞ 0$。
【答案】：
(1) 解：由$1-2x \geq 0$，得$x \leq \frac{1}{2}$。
所以当$x \leq \frac{1}{2}$时，$\sqrt{1-2x}$在实数范围内有意义。
(2) 解：因为$x^{2}-4x+4 = (x-2)^{2}$，且$(x-2)^{2} \geq 0$恒成立。
所以$x$取任意实数，$\sqrt{x^{2}-4x+4}$在实数范围内都有意义。
(3) 解：由$x-1 ＞ 0$，得$x ＞ 1$。
所以当$x ＞ 1$时，$\sqrt{\frac{2}{x-1}}$在实数范围内有意义。
(4) 解：由不等式组$\left\{ \begin{array}{l} 1-x \geq 0 \\ (1+x)^{2} ＞ 0 \end{array} \right.$，
解得$x \leq 1$且$x \neq -1$。
所以当$x \leq 1$且$x \neq -1$时，$\sqrt{\frac{1-x}{(1+x)^{2}}}$在实数范围内有意义。
14. 先化简,再求值：$\sqrt {9-6x+x^{2}}$,其中$x= \sqrt {3}$.
答案：
【解析】：
本题主要考查二次根式的化简及代数运算。
首先，我们需要对给定的二次根式进行化简。
观察原式$\sqrt{9 - 6x + x^{2}}$，我们可以发现它可以写成完全平方的形式，即$\sqrt{(3 - x)^{2}}$。
根据二次根式的性质，$\sqrt{a^{2}} = |a|$，所以原式可以化简为$|3 - x|$。
然后，我们将$x = \sqrt{3}$代入化简后的表达式，得到$|3 - \sqrt{3}|$。
由于$3 ＞ \sqrt{3}$，所以$|3 - \sqrt{3}| = 3 - \sqrt{3}$。
【答案】：
当$x = \sqrt{3}$时，
$\sqrt{9 - 6x + x^{2}}$
$= \sqrt{(3 - x)^{2}}$
$= |3 - x|$
$= 3 - \sqrt{3}$
本题主要考查二次根式的化简及代数运算。
首先，我们需要对给定的二次根式进行化简。
观察原式$\sqrt{9 - 6x + x^{2}}$，我们可以发现它可以写成完全平方的形式，即$\sqrt{(3 - x)^{2}}$。
根据二次根式的性质，$\sqrt{a^{2}} = |a|$，所以原式可以化简为$|3 - x|$。
然后，我们将$x = \sqrt{3}$代入化简后的表达式，得到$|3 - \sqrt{3}|$。
由于$3 ＞ \sqrt{3}$，所以$|3 - \sqrt{3}| = 3 - \sqrt{3}$。
【答案】：
当$x = \sqrt{3}$时，
$\sqrt{9 - 6x + x^{2}}$
$= \sqrt{(3 - x)^{2}}$
$= |3 - x|$
$= 3 - \sqrt{3}$
15. 当$|2x-y+4|+\sqrt {x-y+1}= 0$时,求x与y的值.
答案：
【解析】：
本题主要考查了非负数的性质以及二元一次方程组的解法。
由于绝对值和平方根都是非负数，且它们的和为0，那么这两个非负数都必须为0。
因此，可以得到以下两个方程：
$2x - y + 4 = 0$ （由 $|2x - y + 4| = 0$ 得出），
$x - y + 1 = 0$ （由 $\sqrt{x - y + 1} = 0$ 得出，注意平方根内部必须为非负数，且平方根结果为0时，内部表达式为0），
接下来，解这个二元一次方程组。
【答案】：
解：
$\begin{cases}2x - y + 4 = 0, \text{①} \\x - y + 1 = 0. \text{②}\end{cases}$
① - ②得：$x + 3 = 0$，
解得：$x = -3$，
将 $x = -3$ 代入②得：$-3 - y + 1 = 0$，
解得：$y = -2$，
所以，方程组的解为：
$\begin{cases}x = -3, \\y = -2.\end{cases}$
本题主要考查了非负数的性质以及二元一次方程组的解法。
由于绝对值和平方根都是非负数，且它们的和为0，那么这两个非负数都必须为0。
因此，可以得到以下两个方程：
$2x - y + 4 = 0$ （由 $|2x - y + 4| = 0$ 得出），
$x - y + 1 = 0$ （由 $\sqrt{x - y + 1} = 0$ 得出，注意平方根内部必须为非负数，且平方根结果为0时，内部表达式为0），
接下来，解这个二元一次方程组。
【答案】：
解：
$\begin{cases}2x - y + 4 = 0, \text{①} \\x - y + 1 = 0. \text{②}\end{cases}$
① - ②得：$x + 3 = 0$，
解得：$x = -3$，
将 $x = -3$ 代入②得：$-3 - y + 1 = 0$，
解得：$y = -2$，
所以，方程组的解为：
$\begin{cases}x = -3, \\y = -2.\end{cases}$
思维与拓展 8
设a、b、c分别是三角形三边的长,化简：$\sqrt {(a+b-c)^{2}}+(\sqrt {a-b+c})^{2}+\sqrt {(a-b-c)^{2}}$.
设a、b、c分别是三角形三边的长,化简：$\sqrt {(a+b-c)^{2}}+(\sqrt {a-b+c})^{2}+\sqrt {(a-b-c)^{2}}$.
答案：
解：
∵a、b、c是三角形三边的长，
∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，
∴a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0，
∴原式=|a+b-c|+(a-b+c)+|a-b-c|
=(a+b-c)+(a-b+c)+(b+c-a)
=a+b-c+a-b+c+b+c-a
=a+b+c.
∵a、b、c是三角形三边的长，
∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，
∴a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0，
∴原式=|a+b-c|+(a-b+c)+|a-b-c|
=(a+b-c)+(a-b+c)+(b+c-a)
=a+b-c+a-b+c+b+c-a
=a+b+c.
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