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10. 解方程：
(1)$x^{2}+3x+1= 0$； (2)$\frac {1}{2}x-1= 2x^{2}$；
(3)$\frac {x^{2}-2}{3}+\frac {x}{2}= x$； (4)$x^{2}+2= 2\sqrt {2}x$；
(5)$-3x^{2}-2x+2= 0$； (6)$(x-\sqrt {2})^{2}+4\sqrt {2}x= 0$.
(1)$x^{2}+3x+1= 0$； (2)$\frac {1}{2}x-1= 2x^{2}$；
(3)$\frac {x^{2}-2}{3}+\frac {x}{2}= x$； (4)$x^{2}+2= 2\sqrt {2}x$；
(5)$-3x^{2}-2x+2= 0$； (6)$(x-\sqrt {2})^{2}+4\sqrt {2}x= 0$.
答案：
$(1)$ 解方程$x^{2}+3x + 1 = 0$
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$x^{2}+3x + 1 = 0$中，$a = 1$，$b = 3$，$c = 1$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=3^{2}-4×1×1 = 9 - 4=5$。
将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式可得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
所以$x_{1}=\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$。
$(2)$ 解方程$\frac{1}{2}x-1 = 2x^{2}$
解：将方程化为一般形式$4x^{2}-x + 2 = 0$，其中$a = 4$，$b=-1$，$c = 2$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×4×2=1 - 32=-31\lt0$。
因为$\Delta\lt0$，所以此方程无实数根。
$(3)$ 解方程$\frac{x^{2}-2}{3}+\frac{x}{2}=x$
解：
方程两边同时乘以$6$去分母得：$2(x^{2}-2)+3x = 6x$。
去括号得：$2x^{2}-4 + 3x = 6x$。
移项化为一般形式：$2x^{2}-3x - 4 = 0$，其中$a = 2$，$b=-3$，$c = -4$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×2×(-4)=9 + 32 = 41$。
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}$
所以$x_{1}=\frac{3+\sqrt{41}}{4}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$。
$(4)$ 解方程$x^{2}+2 = 2\sqrt{2}x$
解：
移项化为一般形式$x^{2}-2\sqrt{2}x + 2 = 0$，其中$a = 1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c = 2$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-2\sqrt{2})^{2}-4×1×2=8 - 8 = 0$。
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{2\sqrt{2}\pm0}{2}=\sqrt{2}$
所以$x_{1}=x_{2}=\sqrt{2}$。
$(5)$ 解方程$-3x^{2}-2x + 2 = 0$
解：
方程两边同时乘以$-1$得$3x^{2}+2x - 2 = 0$，其中$a = 3$，$b = 2$，$c = -2$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4×3×(-2)=4 + 24 = 28$。
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{28}}{6}=\frac{-2\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{-1\pm\sqrt{7}}{3}$
所以$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{7}}{3}$，$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{7}}{3}$。
$(6)$ 解方程$(x-\sqrt{2})^{2}+4\sqrt{2}x = 0$
解：
去括号得$x^{2}-2\sqrt{2}x + 2 + 4\sqrt{2}x = 0$。
合并同类项化为一般形式$x^{2}+2\sqrt{2}x + 2 = 0$，其中$a = 1$，$b = 2\sqrt{2}$，$c = 2$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(2\sqrt{2})^{2}-4×1×2=8 - 8 = 0$。
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{-2\sqrt{2}\pm0}{2}=-\sqrt{2}$
所以$x_{1}=x_{2}=-\sqrt{2}$。
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$x^{2}+3x + 1 = 0$中，$a = 1$，$b = 3$，$c = 1$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=3^{2}-4×1×1 = 9 - 4=5$。
将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式可得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
所以$x_{1}=\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$。
$(2)$ 解方程$\frac{1}{2}x-1 = 2x^{2}$
解：将方程化为一般形式$4x^{2}-x + 2 = 0$，其中$a = 4$，$b=-1$，$c = 2$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×4×2=1 - 32=-31\lt0$。
因为$\Delta\lt0$，所以此方程无实数根。
$(3)$ 解方程$\frac{x^{2}-2}{3}+\frac{x}{2}=x$
解：
方程两边同时乘以$6$去分母得：$2(x^{2}-2)+3x = 6x$。
去括号得：$2x^{2}-4 + 3x = 6x$。
移项化为一般形式：$2x^{2}-3x - 4 = 0$，其中$a = 2$，$b=-3$，$c = -4$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×2×(-4)=9 + 32 = 41$。
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}$
所以$x_{1}=\frac{3+\sqrt{41}}{4}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$。
$(4)$ 解方程$x^{2}+2 = 2\sqrt{2}x$
解：
移项化为一般形式$x^{2}-2\sqrt{2}x + 2 = 0$，其中$a = 1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c = 2$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-2\sqrt{2})^{2}-4×1×2=8 - 8 = 0$。
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{2\sqrt{2}\pm0}{2}=\sqrt{2}$
所以$x_{1}=x_{2}=\sqrt{2}$。
$(5)$ 解方程$-3x^{2}-2x + 2 = 0$
解：
方程两边同时乘以$-1$得$3x^{2}+2x - 2 = 0$，其中$a = 3$，$b = 2$，$c = -2$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4×3×(-2)=4 + 24 = 28$。
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{28}}{6}=\frac{-2\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{-1\pm\sqrt{7}}{3}$
所以$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{7}}{3}$，$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{7}}{3}$。
$(6)$ 解方程$(x-\sqrt{2})^{2}+4\sqrt{2}x = 0$
解：
去括号得$x^{2}-2\sqrt{2}x + 2 + 4\sqrt{2}x = 0$。
合并同类项化为一般形式$x^{2}+2\sqrt{2}x + 2 = 0$，其中$a = 1$，$b = 2\sqrt{2}$，$c = 2$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(2\sqrt{2})^{2}-4×1×2=8 - 8 = 0$。
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{-2\sqrt{2}\pm0}{2}=-\sqrt{2}$
所以$x_{1}=x_{2}=-\sqrt{2}$。
11. 用公式法解关于$x$的方程：$x^{2}-x= a^{2}$.
答案：
【解析】：
这是一道关于一元二次方程的解法题目，要求使用公式法求解。
首先，需要将原方程$x^{2} - x = a^{2}$转化为标准形式的一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$。
这里，$a = 1, b = -1, c = -a^{2}$。
接下来，需要计算判别式$\Delta = b^{2} - 4ac$。
将$a, b, c$的值代入，得到$\Delta = (-1)^{2} - 4 × 1 × (-a^{2}) = 1 + 4a^{2}$。
由于$\Delta ＞ 0$（因为$a^{2}$总是非负的，所以$1 + 4a^{2} ＞ 0$），方程有两个不相等的实根。
最后，利用求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，代入$a, b, \Delta$的值，得到$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4a^{2}}}{2}$。
【答案】：
解：将原方程化为标准形式得
$x^{2} - x - a^{2} = 0$，
其中，$a = 1, b = -1, c = -a^{2}$，
计算判别式
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4 × 1 × (-a^{2}) = 1 + 4a^{2}$，
由于$\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实根，
利用求根公式得
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4a^{2}}}{2}$，
即$x_{1} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4a^{2}}}{2}, \quad x_{2} = \frac{1 - \sqrt{1 + 4a^{2}}}{2}$。
这是一道关于一元二次方程的解法题目，要求使用公式法求解。
首先，需要将原方程$x^{2} - x = a^{2}$转化为标准形式的一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$。
这里，$a = 1, b = -1, c = -a^{2}$。
接下来，需要计算判别式$\Delta = b^{2} - 4ac$。
将$a, b, c$的值代入，得到$\Delta = (-1)^{2} - 4 × 1 × (-a^{2}) = 1 + 4a^{2}$。
由于$\Delta ＞ 0$（因为$a^{2}$总是非负的，所以$1 + 4a^{2} ＞ 0$），方程有两个不相等的实根。
最后，利用求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，代入$a, b, \Delta$的值，得到$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4a^{2}}}{2}$。
【答案】：
解：将原方程化为标准形式得
$x^{2} - x - a^{2} = 0$，
其中，$a = 1, b = -1, c = -a^{2}$，
计算判别式
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4 × 1 × (-a^{2}) = 1 + 4a^{2}$，
由于$\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实根，
利用求根公式得
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4a^{2}}}{2}$，
即$x_{1} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4a^{2}}}{2}, \quad x_{2} = \frac{1 - \sqrt{1 + 4a^{2}}}{2}$。
思维与拓展 15
已知一元二次方程$\frac {9}{4}ax^{2}-5x+a= 0(a≠0)$有两个相等的实数根,求此方程的解.
已知一元二次方程$\frac {9}{4}ax^{2}-5x+a= 0(a≠0)$有两个相等的实数根,求此方程的解.
答案：
解：
∵一元二次方程$\frac{9}{4}ax^2 - 5x + a = 0$（$a≠0$）有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-5)^2 - 4×\frac{9}{4}a× a = 0$
即$25 - 9a^2 = 0$
$9a^2 = 25$
$a^2 = \frac{25}{9}$
$a = ±\frac{5}{3}$
当$a = \frac{5}{3}$时，原方程为$\frac{9}{4}×\frac{5}{3}x^2 - 5x + \frac{5}{3} = 0$
化简得$\frac{15}{4}x^2 - 5x + \frac{5}{3} = 0$
两边同乘12得$45x^2 - 60x + 20 = 0$
即$9x^2 - 12x + 4 = 0$
$(3x - 2)^2 = 0$
解得$x_1 = x_2 = \frac{2}{3}$
当$a = -\frac{5}{3}$时，原方程为$\frac{9}{4}×(-\frac{5}{3})x^2 - 5x + (-\frac{5}{3}) = 0$
化简得$-\frac{15}{4}x^2 - 5x - \frac{5}{3} = 0$
两边同乘-12得$45x^2 + 60x + 20 = 0$
即$9x^2 + 12x + 4 = 0$
$(3x + 2)^2 = 0$
解得$x_1 = x_2 = -\frac{2}{3}$
综上，方程的解为$x_1 = x_2 = \frac{2}{3}$或$x_1 = x_2 = -\frac{2}{3}$
∵一元二次方程$\frac{9}{4}ax^2 - 5x + a = 0$（$a≠0$）有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-5)^2 - 4×\frac{9}{4}a× a = 0$
即$25 - 9a^2 = 0$
$9a^2 = 25$
$a^2 = \frac{25}{9}$
$a = ±\frac{5}{3}$
当$a = \frac{5}{3}$时，原方程为$\frac{9}{4}×\frac{5}{3}x^2 - 5x + \frac{5}{3} = 0$
化简得$\frac{15}{4}x^2 - 5x + \frac{5}{3} = 0$
两边同乘12得$45x^2 - 60x + 20 = 0$
即$9x^2 - 12x + 4 = 0$
$(3x - 2)^2 = 0$
解得$x_1 = x_2 = \frac{2}{3}$
当$a = -\frac{5}{3}$时，原方程为$\frac{9}{4}×(-\frac{5}{3})x^2 - 5x + (-\frac{5}{3}) = 0$
化简得$-\frac{15}{4}x^2 - 5x - \frac{5}{3} = 0$
两边同乘-12得$45x^2 + 60x + 20 = 0$
即$9x^2 + 12x + 4 = 0$
$(3x + 2)^2 = 0$
解得$x_1 = x_2 = -\frac{2}{3}$
综上，方程的解为$x_1 = x_2 = \frac{2}{3}$或$x_1 = x_2 = -\frac{2}{3}$
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