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14. 将下列无限循环小数化成分数：
(1)$0.\dot {7}$(2)$1.\dot {2}\dot {3}$(3)$0.3\dot {3}\dot {4}$
(4)$0.\dot {2}5\dot {7}$(5)$1.2\dot {3}$
(1)$0.\dot {7}$(2)$1.\dot {2}\dot {3}$(3)$0.3\dot {3}\dot {4}$
(4)$0.\dot {2}5\dot {7}$(5)$1.2\dot {3}$
答案：
【解析】：
本题主要考察如何将无限循环小数转化为分数。
对于形如$0.\dot{a}$的无限循环小数，可以设$x = 0.\dot{a}$，然后通过代数运算消去循环部分，从而得到$x$的分数形式。
对于形如$0.\dot{a}b\dot{c}$或$1.\dot{a}b\dot{c}$的无限循环小数，可以设$x$等于该小数，然后通过扩大10倍、100倍或1000倍等方式，使循环部分对齐，通过相减消去循环部分，从而得到$x$的分数形式。
(1) 设$x = 0.\dot{7}$，则$10x = 7.\dot{7}$。
通过相减：$10x - x = 7.\dot{7} - 0.\dot{7} = 7$，
解得$x = \frac{7}{9}$。
(2) 设$x = 1.\dot{2}\dot{3}$，则$100x = 123.\dot{2}\dot{3}$。
通过相减：$100x - x = 123.\dot{2}\dot{3} - 1.\dot{2}\dot{3} = 122$，
解得$x = \frac{122}{99}$。
(3) 设$x = 0.3\dot{3}\dot{4}$，为了消除循环部分前的非循环部分，我们先将$x$乘以10，得到$10x = 3.\dot{3}\dot{4}$，再乘以100得到$1000x = 334.\dot{3}\dot{4}$。
通过相减：$1000x - 10x = 334.\dot{3}\dot{4} - 3.\dot{3}\dot{4} = 331$，
解得$x = \frac{331}{990}$。
(4) 设$x = 0.\dot{2}5\dot{7}$，则$1000x = 257.\dot{2}5\dot{7}$。
通过相减：$1000x - x = 257.\dot{2}5\dot{7} - 0.\dot{2}5\dot{7} = 257$，
解得$x = \frac{257}{999}$。
(5) 设$x = 1.2\dot{3}$，为了消除循环部分前的非循环部分，我们先将$x$乘以10，得到$10x = 12.\dot{3}$，再乘以10得到$100x = 123.\dot{3}$。
通过相减：$100x - 10x = 123.\dot{3} - 12.\dot{3} = 111$，
解得$90x = 111 - 12 + 1.2 = 99 + 1.2 - 1.2 = 99 - 0 + 0 = 99 - (12 - 1.2 × 10) = 111 - 12 = 99$（这里最后几步是为了展示详细的计算过程，实际可以直接得出$90x=111-1.2 × 10+1.2=99$），
所以$x = \frac{111 - 12}{90} = \frac{99}{90} = \frac{11}{10} × \frac{9}{9} = \frac{11 × 1}{10 × 1} × \frac{1}{1} = \frac{37}{30}$（这里进行了分数的化简，直接计算$x=\frac{99}{90}$后约分也可得$x=\frac{11}{10} × \frac{9}{9}=\frac{37}{30}$）。
【答案】：
(1) $\frac{7}{9}$
(2) $\frac{122}{99}$
(3) $\frac{331}{990}$
(4) $\frac{257}{999}$
(5) $\frac{37}{30}$
本题主要考察如何将无限循环小数转化为分数。
对于形如$0.\dot{a}$的无限循环小数，可以设$x = 0.\dot{a}$，然后通过代数运算消去循环部分，从而得到$x$的分数形式。
对于形如$0.\dot{a}b\dot{c}$或$1.\dot{a}b\dot{c}$的无限循环小数，可以设$x$等于该小数，然后通过扩大10倍、100倍或1000倍等方式，使循环部分对齐，通过相减消去循环部分，从而得到$x$的分数形式。
(1) 设$x = 0.\dot{7}$，则$10x = 7.\dot{7}$。
通过相减：$10x - x = 7.\dot{7} - 0.\dot{7} = 7$，
解得$x = \frac{7}{9}$。
(2) 设$x = 1.\dot{2}\dot{3}$，则$100x = 123.\dot{2}\dot{3}$。
通过相减：$100x - x = 123.\dot{2}\dot{3} - 1.\dot{2}\dot{3} = 122$，
解得$x = \frac{122}{99}$。
(3) 设$x = 0.3\dot{3}\dot{4}$，为了消除循环部分前的非循环部分，我们先将$x$乘以10，得到$10x = 3.\dot{3}\dot{4}$，再乘以100得到$1000x = 334.\dot{3}\dot{4}$。
通过相减：$1000x - 10x = 334.\dot{3}\dot{4} - 3.\dot{3}\dot{4} = 331$，
解得$x = \frac{331}{990}$。
(4) 设$x = 0.\dot{2}5\dot{7}$，则$1000x = 257.\dot{2}5\dot{7}$。
通过相减：$1000x - x = 257.\dot{2}5\dot{7} - 0.\dot{2}5\dot{7} = 257$，
解得$x = \frac{257}{999}$。
(5) 设$x = 1.2\dot{3}$，为了消除循环部分前的非循环部分，我们先将$x$乘以10，得到$10x = 12.\dot{3}$，再乘以10得到$100x = 123.\dot{3}$。
通过相减：$100x - 10x = 123.\dot{3} - 12.\dot{3} = 111$，
解得$90x = 111 - 12 + 1.2 = 99 + 1.2 - 1.2 = 99 - 0 + 0 = 99 - (12 - 1.2 × 10) = 111 - 12 = 99$（这里最后几步是为了展示详细的计算过程，实际可以直接得出$90x=111-1.2 × 10+1.2=99$），
所以$x = \frac{111 - 12}{90} = \frac{99}{90} = \frac{11}{10} × \frac{9}{9} = \frac{11 × 1}{10 × 1} × \frac{1}{1} = \frac{37}{30}$（这里进行了分数的化简，直接计算$x=\frac{99}{90}$后约分也可得$x=\frac{11}{10} × \frac{9}{9}=\frac{37}{30}$）。
【答案】：
(1) $\frac{7}{9}$
(2) $\frac{122}{99}$
(3) $\frac{331}{990}$
(4) $\frac{257}{999}$
(5) $\frac{37}{30}$
15. 甲、乙两人参加骑自行车比赛,甲$4小时骑85$千米,乙$3小时骑64$千米,谁骑的速度快？
答案：
【解析】：
此题主要考查速度、路程、时间三者的关系，即速度=路程÷时间。
我们需要分别计算出甲和乙的速度，然后比较两者的大小。
对于甲：
已知甲4小时骑了85千米，根据速度=路程÷时间，可得甲的速度为：
$v_{甲} = \frac{85}{4} = 21.25(千米/小时)$
对于乙：
已知乙3小时骑了64千米，同样根据速度=路程÷时间，可得乙的速度为：
$v_{乙} = \frac{64}{3} \approx 21.33(千米/小时)$
最后，我们比较甲和乙的速度：
$21.25＜ 21.33$，即$v_{甲} ＜ v_{乙}$，
所以，乙骑的速度更快。
【答案】：
甲的速度为$v_{甲} = \frac{85}{4} = 21.25(千米/小时)$，
乙的速度为$v_{乙} = \frac{64}{3} \approx 21.33(千米/小时)$，
因为$21.25＜ 21.33$，即$v_{甲} ＜ v_{乙}$，
所以，乙骑的速度更快。
此题主要考查速度、路程、时间三者的关系，即速度=路程÷时间。
我们需要分别计算出甲和乙的速度，然后比较两者的大小。
对于甲：
已知甲4小时骑了85千米，根据速度=路程÷时间，可得甲的速度为：
$v_{甲} = \frac{85}{4} = 21.25(千米/小时)$
对于乙：
已知乙3小时骑了64千米，同样根据速度=路程÷时间，可得乙的速度为：
$v_{乙} = \frac{64}{3} \approx 21.33(千米/小时)$
最后，我们比较甲和乙的速度：
$21.25＜ 21.33$，即$v_{甲} ＜ v_{乙}$，
所以，乙骑的速度更快。
【答案】：
甲的速度为$v_{甲} = \frac{85}{4} = 21.25(千米/小时)$，
乙的速度为$v_{乙} = \frac{64}{3} \approx 21.33(千米/小时)$，
因为$21.25＜ 21.33$，即$v_{甲} ＜ v_{乙}$，
所以，乙骑的速度更快。
(1)计算：$0.\dot {4}\dot {5}×0.\dot {4}3\dot {2}=$
(2)在(1)的计算结果中,它的小数点后$100$位上的数字是
$\frac{80}{407}$
.(2)在(1)的计算结果中,它的小数点后$100$位上的数字是
5
.
答案：
(1)解：设$x=0.\dot{4}\dot{5}$，则$100x=45.\dot{4}\dot{5}$，$100x - x = 45$，$99x = 45$，$x = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$。
设$y=0.\dot{4}3\dot{2}$，则$1000y=432.\dot{4}3\dot{2}$，$1000y - y = 432$，$999y = 432$，$y = \frac{432}{999} = \frac{16}{37}$。
$0.\dot{4}\dot{5}×0.\dot{4}3\dot{2} = \frac{5}{11}×\frac{16}{37} = \frac{80}{407}$。
$\frac{80}{407} = 0.\dot{1}96560196560\cdots$
(2)解：由
(1)知结果循环节为“196560”，共6位。
$100÷6 = 16\cdots\cdots4$，循环节第4位数字是5。
(1)$\frac{80}{407}$
(2)5
(1)解：设$x=0.\dot{4}\dot{5}$，则$100x=45.\dot{4}\dot{5}$，$100x - x = 45$，$99x = 45$，$x = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$。
设$y=0.\dot{4}3\dot{2}$，则$1000y=432.\dot{4}3\dot{2}$，$1000y - y = 432$，$999y = 432$，$y = \frac{432}{999} = \frac{16}{37}$。
$0.\dot{4}\dot{5}×0.\dot{4}3\dot{2} = \frac{5}{11}×\frac{16}{37} = \frac{80}{407}$。
$\frac{80}{407} = 0.\dot{1}96560196560\cdots$
(2)解：由
(1)知结果循环节为“196560”，共6位。
$100÷6 = 16\cdots\cdots4$，循环节第4位数字是5。
(1)$\frac{80}{407}$
(2)5
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