《2025年中学生世界八年级数学上册沪教版五四制》

13. 计算：
(1)$\sqrt { 12 } × \sqrt { 15 } × \sqrt { 20 }$； (2)$3 \sqrt { 18 } × \frac { 1 } { 6 } \sqrt { 3 } ÷ 2 \sqrt { 6 }$；
(3)$\sqrt { \frac { 2 x } { y } } × \sqrt { \frac { 6 y } { 25 x } }$； (4)$\sqrt { x ^ { 3 } y } ÷ \sqrt { \frac { 5 } { x y ^ { 2 } } }$；
(5)$\left( - \sqrt { \frac { 2 } { 3 x } } \right) × \sqrt { 8 x ^ { 3 } } ÷ ( - \sqrt { 6 x } )$； (6)$3 \sqrt { \frac { b } { x } } ÷ \left( - 2 \sqrt { \frac { b } { a } } \right) \cdot \sqrt { \frac { x } { a } }$.

答案：
(1)解：原式$=\sqrt{12×15×20}$
$=\sqrt{3600}$
$=60$
(2)解：原式$=3×\frac{1}{6}÷2×\sqrt{18×3÷6}$
$=\frac{1}{2}÷2×\sqrt{9}$
$=\frac{1}{4}×3$
$=\frac{3}{4}$
(3)解：原式$=\sqrt{\frac{2x}{y}×\frac{6y}{25x}}$
$=\sqrt{\frac{12}{25}}$
$=\frac{2\sqrt{3}}{5}$
(4)解：原式$=\sqrt{x^{3}y÷\frac{5}{xy^{2}}}$
$=\sqrt{x^{3}y×\frac{xy^{2}}{5}}$
$=\sqrt{\frac{x^{4}y^{3}}{5}}$
$=\frac{x^{2}y\sqrt{5y}}{5}$
(5)解：原式$=(-1)×1÷(-1)×\sqrt{\frac{2}{3x}×8x^{3}÷6x}$
$=1×\sqrt{\frac{16x}{18}}$
$=\sqrt{\frac{8x}{9}}$
$=\frac{2\sqrt{2x}}{3}$
(6)解：原式$=3÷(-2)×1×\sqrt{\frac{b}{x}÷\frac{b}{a}×\frac{x}{a}}$
$=-\frac{3}{2}×\sqrt{\frac{b}{x}×\frac{a}{b}×\frac{x}{a}}$
$=-\frac{3}{2}×\sqrt{1}$
$=-\frac{3}{2}$

14. 若$x$、$y$为实数,且$y = \frac { \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } + \sqrt { 4 - x ^ { 2 } } + 1 } { x + 2 }$,求$\sqrt { x + y } \cdot \sqrt { x - y }$的值.

答案： 解：由题意得，$x^2 - 4 \geq 0$且$4 - x^2 \geq 0$，解得$x^2 = 4$，即$x = \pm 2$。
又因为$x + 2 \neq 0$，所以$x \neq -2$，故$x = 2$。
将$x = 2$代入$y = \frac{\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{4 - x^2} + 1}{x + 2}$，得$y = \frac{0 + 0 + 1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$。
则$\sqrt{x + y} \cdot \sqrt{x - y} = \sqrt{(x + y)(x - y)} = \sqrt{x^2 - y^2}$。
把$x = 2$，$y = \frac{1}{4}$代入，得$\sqrt{2^2 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{4 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{63}{16}} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$。
答案：$\frac{3\sqrt{7}}{4}$