《2025年中学生世界八年级数学上册沪教版五四制》

3. 已知$a、b、c满足|a-\sqrt {8}|+\sqrt {b-5}+(c-3\sqrt {2})^{2}= 0.$
(1)求$a、b、c$的值；
(2)试问：以$a、b、c$为边能否构成三角形？如果能构成三角形,请求出三角形的周长；如果不能构成三角形,请说明理由.

答案： 【解析】：
本题主要考查了非负数的性质以及三角形的三边关系。
(1)由于$|a-\sqrt {8}|+\sqrt {b-5}+(c-3\sqrt {2})^{2}= 0$，
考虑到每一项都是非负的，所以要使整体等于0，每一项都必须等于0。
对于$|a-\sqrt {8}|= 0$，我们得到$a=\sqrt {8}=2\sqrt {2}$；
对于$\sqrt {b-5}= 0$，我们得到$b=5$；
对于$(c-3\sqrt {2})^{2}= 0$，我们得到$c=3\sqrt {2}$。
(2)接下来判断以$a,b,c$为边是否能构成三角形。
根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
我们有$a+c=2\sqrt {2}+3\sqrt {2}=5\sqrt {2}$，由于$5\sqrt {2}＞5$，所以$a+c＞b$；
$a+b=2\sqrt {2}+5$，显然$a+b＞3\sqrt {2}$，所以$a+b＞c$；
$c+b=3\sqrt {2}+5$，显然$c+b＞2\sqrt {2}$，所以$c+b＞a$；
同时，$|a-c|=|\sqrt {2}|= \sqrt {2}＜5$，所以$|a-c|＜b$；
$|a-b|=|2\sqrt {2}-5|＜3\sqrt {2}$，所以$|a-b|＜c$；
$|c-b|=|3\sqrt {2}-5|＜2\sqrt {2}$，所以$|c-b|＜a$；
因此，以$a,b,c$为边能构成三角形。
三角形的周长为$a+b+c=2\sqrt {2}+5+3\sqrt {2}=5+5\sqrt {2}$。
【答案】：
(1)$a=2\sqrt {2}$，$b=5$，$c=3\sqrt {2}$；
(2)能，周长为$5+5\sqrt {2}$。

4. 阅读下列材料,然后回答问题.
在进行二次根式去分母时,我们有时会碰上如：$\frac {5}{\sqrt {3}}、\sqrt {\frac {2}{3}}、\frac {2}{\sqrt {3}+1}$这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简：
$\frac {5}{\sqrt {3}}= \frac {5×\sqrt {3}}{\sqrt {3}×\sqrt {3}}= \frac {5\sqrt {3}}{3};$ ①
$\sqrt {\frac {2}{3}}= \sqrt {\frac {2×3}{3×3}}= \frac {\sqrt {6}}{3};$ ②
$\frac {2}{\sqrt {3}+1}= \frac {2×(\sqrt {3}-1)}{(\sqrt {3}+1)(\sqrt {3}-1)}= \frac {2(\sqrt {3}-1)}{(\sqrt {3})^{2}-1^{2}}= \sqrt {3}-1.$ ③
以上这种化简的步骤叫作分母有理化.
$\frac {2}{\sqrt {3}+1}$还可以用以下方法化简：
$\frac {2}{\sqrt {3}+1}= \frac {3-1}{\sqrt {3}+1}= \frac {(\sqrt {3})^{2}-1^{2}}{\sqrt {3}+1}= \frac {(\sqrt {3}+1)(\sqrt {3}-1)}{\sqrt {3}+1}= \sqrt {3}-1.$ ④
(1)请用不同的方法化简$\frac {2}{\sqrt {5}+\sqrt {3}}:$
参照③式,得$\frac {2}{\sqrt {5}+\sqrt {3}}= $$\sqrt {5}-\sqrt {3}$；
参照④式,得$\frac {2}{\sqrt {5}+\sqrt {3}}= $$\sqrt {5}-\sqrt {3}$.
(2)化简：$\frac {1}{\sqrt {3}+1}+\frac {1}{\sqrt {5}+\sqrt {3}}+\frac {1}{\sqrt {7}+\sqrt {5}}+... +\frac {1}{\sqrt {2n+1}+\sqrt {2n-1}}(n= 1、2、3... ).$
$\frac {1}{2}(\sqrt {2n+1}-1)$

答案： 【解析】：
本题主要考查二次根式的化简，特别是分母有理化的技巧。
(1) 对于$\frac {2}{\sqrt {5}+\sqrt {3}}$的化简，可以参照给出的③式和④式，利用平方差公式和分母有理化的方法进行。
参照③式，我们可以得到：
$\frac {2}{\sqrt {5}+\sqrt {3}} = \frac {2(\sqrt {5}-\sqrt {3})}{(\sqrt {5}+\sqrt {3})(\sqrt {5}-\sqrt {3})} = \frac {2(\sqrt {5}-\sqrt {3})}{5-3} = \sqrt {5}-\sqrt {3}$
参照④式，我们可以先将2写成$5-3$，然后利用平方差公式进行化简：
$\frac {2}{\sqrt {5}+\sqrt {3}} = \frac {5-3}{\sqrt {5}+\sqrt {3}} = \frac {(\sqrt {5})^{2}-(\sqrt {3})^{2}}{\sqrt {5}+\sqrt {3}} = \frac {(\sqrt {5}+\sqrt {3})(\sqrt {5}-\sqrt {3})}{\sqrt {5}+\sqrt {3}} = \sqrt {5}-\sqrt {3}$
(2) 对于序列的化简，我们可以先对每一项进行分母有理化，然后观察规律进行化简。
原式
$= \frac {\sqrt {3}-1}{(\sqrt {3}+1)(\sqrt {3}-1)} + \frac {\sqrt {5}-\sqrt {3}}{(\sqrt {5}+\sqrt {3})(\sqrt {5}-\sqrt {3})} + \ldots + \frac {\sqrt {2n+1}-\sqrt {2n-1}}{(\sqrt {2n+1}+\sqrt {2n-1})(\sqrt {2n+1}-\sqrt {2n-1})}$
$= \frac {1}{2}(\sqrt {3}-1 + \sqrt {5}-\sqrt {3} + \ldots + \sqrt {2n+1}-\sqrt {2n-1})$
观察上式，可以发现从第二项开始，每一项都有一个正项和一个负项相消，因此上式可以化简为：
$= \frac {1}{2}(\sqrt {2n+1}-1)$
【答案】：
(1) $\sqrt {5}-\sqrt {3}$；$\sqrt {5}-\sqrt {3}$
(2) $\frac {1}{2}(\sqrt {2n+1}-1)$