《2025年中学生世界八年级数学上册沪教版五四制》

1. $2-\sqrt{3}$的有理化因式是(A)
A.$2+\sqrt{3}$；
B.$2-\sqrt{3}$；
C.$\sqrt{3}-2$；
D.$\sqrt{3}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次根式的有理化因式。
有理化因式的定义是：若两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式。
对于给定的式子$2-\sqrt{3}$，我们需要找到一个式子，使得它们相乘后结果不含有根式。
根据平方差公式$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$，我们可以尝试将$2-\sqrt{3}$与$2+\sqrt{3}$相乘，看是否能得到一个不含有根式的结果。
计算得：$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$。
由于乘积为1，不含有根式，所以$2+\sqrt{3}$是$2-\sqrt{3}$的有理化因式。
【答案】：
A. $2+\sqrt{3}$。

2. 化简$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)^{2}$的正确结果是(B)
A.$\sqrt{2}-1$；
B.$\sqrt{2}+1$；
C.$1-\sqrt{2}$；
D.$-1-\sqrt{2}$.

答案： 解：$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)^{2}$
$=[(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)](\sqrt{2}+1)$
$=[(\sqrt{2})^{2}-1^{2}](\sqrt{2}+1)$
$=(2 - 1)(\sqrt{2}+1)$
$=1×(\sqrt{2}+1)$
$=\sqrt{2}+1$
B

3. 化简$\sqrt{8}-\sqrt{2}(\sqrt{2}+2)$的正确结果是(A)
A.$-2$；
B.$\sqrt{2}-2$；
C.$2$；
D.$4\sqrt{2}-1$.

答案： 【解析】：
本题主要考查二次根式的运算。
首先，我们需要将给定的表达式 $\sqrt{8}-\sqrt{2}(\sqrt{2}+2)$ 进行化简。
第一步，化简 $\sqrt{8}$，由于 $8 = 4 × 2$，所以 $\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$。
第二步，处理 $\sqrt{2}(\sqrt{2}+2)$，根据分配律，这可以展开为 $\sqrt{2} × \sqrt{2} + 2 × \sqrt{2} = 2 + 2\sqrt{2}$。
第三步，将第一步和第二步的结果代入原式，得到 $2\sqrt{2} - (2 + 2\sqrt{2})$。
第四步，去括号，得到 $2\sqrt{2} - 2 - 2\sqrt{2}$。
第五步，合并同类项，由于 $2\sqrt{2}$ 和 $-2\sqrt{2}$ 相消，所以最后结果是 $-2$。
【答案】：
A

4. 下列等式成立的是(C)
A.$\sqrt{a}+\sqrt{b}= \sqrt{a+b}$；
B.$\sqrt{a^{2}+b^{2}}= \sqrt{a}+\sqrt{b}$；
C.$a\sqrt{b}-c\sqrt{b}= (a-c)\sqrt{b}$；
D.$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}= a+b$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次根式的运算性质及化简。
A选项：对于$\sqrt{a}+\sqrt{b}$，由于根号内的数不同，因此不能直接相加，所以$\sqrt{a}+\sqrt{b} \neq \sqrt{a+b}$，故A选项错误。
B选项：对于$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，由于$a^2$和$b^2$不是同类项，因此不能直接拆分为$\sqrt{a}+\sqrt{b}$，故B选项错误。
C选项：对于$a\sqrt{b}-c\sqrt{b}$，由于它们是同类二次根式，可以根据分配律合并为$(a-c)\sqrt{b}$，故C选项正确。
D选项：对于$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}$，根据平方差公式，应展开为$a+2\sqrt{ab}+b$，显然不等于$a+b$，故D选项错误。
【答案】：
C

5. 已知$x= \frac{1}{2-\sqrt{3}},y= 2+\sqrt{3}$,则$x与y$的关系是(A)
A.$x= y$；
B.$x= -y$；
C.$x= \frac{1}{y}$；
D.$x= -\frac{1}{y}$.

答案： 【解析】：
首先，我们需要化简给定的$x$的表达式。
为了化简这个表达式，我们可以使用有理化分母的方法，即与其共轭式相乘：
$x = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} × \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$
展开分子和分母，得到：
$x = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}$
利用平方差公式，化简分母：
$x = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$
已知 $y = 2 + \sqrt{3}$，通过比较，我们可以得出 $x = y$。
【答案】：
A. $x = y$。

6. 下列式子不是$\sqrt{5}-\sqrt{2}$的有理化因式的是(B)
A.$-\sqrt{5}-\sqrt{2}$；
B.$-\sqrt{5}+\sqrt{2}$；
C.$\sqrt{5}+\sqrt{2}$；
D.$\sqrt{20}+\sqrt{8}$.

答案： 解：若两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式。
对于选项A：$(\sqrt{5} - \sqrt{2})(-\sqrt{5} - \sqrt{2}) = -(\sqrt{5})^2 - \sqrt{5}×\sqrt{2} + \sqrt{2}×\sqrt{5} + (\sqrt{2})^2 = -5 + 2 = -3$，积为有理数，是有理化因式。
对于选项B：$(\sqrt{5} - \sqrt{2})(-\sqrt{5} + \sqrt{2}) = -(\sqrt{5})^2 + \sqrt{5}×\sqrt{2} + \sqrt{2}×\sqrt{5} - (\sqrt{2})^2 = -5 + 2\sqrt{10} - 2 = -7 + 2\sqrt{10}$，积含有二次根式，不是有理化因式。
对于选项C：$(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$，积为有理数，是有理化因式。
对于选项D：$\sqrt{20} + \sqrt{8} = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{5} + \sqrt{2})$，$(\sqrt{5} - \sqrt{2})×2(\sqrt{5} + \sqrt{2}) = 2×3 = 6$，积为有理数，是有理化因式。
综上，不是$\sqrt{5} - \sqrt{2}$的有理化因式的是选项B。
答案：B

7. $\sqrt{5}+\sqrt{3}$的有理化因式是$\sqrt{5} - \sqrt{3}$；$\sqrt{x}-y$的有理化因式是$\sqrt{x} + y$；$a\sqrt{x}+b\sqrt{y}$的有理化因式是$a\sqrt{x} - b\sqrt{y}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次根式的有理化因式。对于含有二次根式的式子，为了消除根号，我们通常会选择乘以一个适当的式子，使其变为一个有理数或一个整式，这个适当的式子被称为有理化因式。
1. 对于 $\sqrt{5} + \sqrt{3}$，为了有理化，我们需要找到一个式子，与其相乘后能够消除根号。观察该式子，可以发现，如果乘以 $\sqrt{5} - \sqrt{3}$，则可以利用平方差公式化简。即：
$(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 5 - 3 = 2$
所以，$\sqrt{5} + \sqrt{3}$ 的有理化因式是 $\sqrt{5} - \sqrt{3}$。
2. 对于 $\sqrt{x} - y$，同样地，我们需要找到一个式子，与其相乘后能够消除根号。观察该式子，可以发现，如果乘以 $\sqrt{x} + y$，也可以利用平方差公式化简。即：
$(\sqrt{x} - y)(\sqrt{x} + y) = x - y^2$
所以，$\sqrt{x} - y$ 的有理化因式是 $\sqrt{x} + y$。
3. 对于 $a\sqrt{x} + b\sqrt{y}$，为了有理化，我们需要找到一个式子，与其相乘后能够消除根号。类似地，如果乘以 $a\sqrt{x} - b\sqrt{y}$，也可以利用平方差公式进行化简。即：
$(a\sqrt{x} + b\sqrt{y})(a\sqrt{x} - b\sqrt{y}) = a^2x - b^2y$
所以，$a\sqrt{x} + b\sqrt{y}$ 的有理化因式是 $a\sqrt{x} - b\sqrt{y}$。
【答案】：
$\sqrt{5} - \sqrt{3}$；$\sqrt{x} + y$；$a\sqrt{x} - b\sqrt{y}$。

8. 计算：$5\sqrt{3}(\sqrt{12}-\sqrt{72})= $$30 - 30\sqrt{6}$.

答案： 解：$5\sqrt{3}(\sqrt{12}-\sqrt{72})$
$=5\sqrt{3}(2\sqrt{3}-6\sqrt{2})$
$=5\sqrt{3}×2\sqrt{3}-5\sqrt{3}×6\sqrt{2}$
$=10×3 - 30\sqrt{6}$
$=30 - 30\sqrt{6}$
$30 - 30\sqrt{6}$

9. 计算：$\sqrt{20}(\sqrt{15}-\sqrt{2}+\sqrt{5})= $$10\sqrt{3} - 2\sqrt{10} + 10$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次根式的乘法运算。
首先，我们可以将原式写为：$\sqrt{20}(\sqrt{15}-\sqrt{2}+\sqrt{5})$，
根据乘法分配律，我们可以将上式拆分为三部分进行计算：
$\sqrt{20} × \sqrt{15} - \sqrt{20} × \sqrt{2} + \sqrt{20} × \sqrt{5}$，
然后，我们利用二次根式的乘法法则，即$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$，进行计算：
$= \sqrt{20 × 15} - \sqrt{20 × 2} + \sqrt{20 × 5}$
$= \sqrt{300} - \sqrt{40} + \sqrt{100}$
$= 10\sqrt{3} - 2\sqrt{10} + 10$。
【答案】：
$10\sqrt{3} - 2\sqrt{10} + 10$。

10. 计算：$(-\sqrt{6})(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})= $$-6\sqrt{2} + 6\sqrt{3}$.

答案： 【解析】：
本题考查二次根式的乘法运算。
根据乘法分配律，有：
$(-\sqrt{6})(2\sqrt{3}-3\sqrt{2}) = (-\sqrt{6} × 2\sqrt{3}) + (-\sqrt{6} × (-3\sqrt{2}))$，
接下来，我们分别计算两个乘法项：
$-\sqrt{6} × 2\sqrt{3} = -2\sqrt{18} = -2 × 3\sqrt{2} = -6\sqrt{2}$，
$-\sqrt{6} × (-3\sqrt{2}) = 3\sqrt{12} = 3 × 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$，
将两个结果相加，得到：
$-6\sqrt{2} + 6\sqrt{3}$，
【答案】：
$-6\sqrt{2} + 6\sqrt{3}$。

11. 计算：
(1)$(4\sqrt{2}-3\sqrt{3})(4\sqrt{2}+3\sqrt{3})$；(2)$(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})^{2}$；
(3)$(\frac{1}{2}\sqrt{3}+2\sqrt{6})(\sqrt{\frac{3}{4}}-\sqrt{24})$；(4)$\sqrt{6}÷(\sqrt{2}+\sqrt{3})$.

答案：
(1)解：原式$=(4\sqrt{2})^{2}-(3\sqrt{3})^{2}$
$=16×2 - 9×3$
$=32 - 27$
$=5$
(2)解：原式$=(2\sqrt{3})^{2}-2×2\sqrt{3}×3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^{2}$
$=4×3 - 12\sqrt{6}+9×2$
$=12 - 12\sqrt{6}+18$
$=30 - 12\sqrt{6}$
(3)解：原式$=(\frac{1}{2}\sqrt{3}+2\sqrt{6})(\frac{1}{2}\sqrt{3}-2\sqrt{6})$
$=(\frac{1}{2}\sqrt{3})^{2}-(2\sqrt{6})^{2}$
$=\frac{1}{4}×3 - 4×6$
$=\frac{3}{4}-24$
$=-\frac{93}{4}$
(4)解：原式$=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}$
$=\frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{3 - 2}$
$=\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{1}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$