《2025年中学生世界八年级数学上册沪教版五四制》

16. 计算：
(1)$\sqrt {\frac {1}{7}}+\sqrt {28}-\sqrt {700}$；(2)$(\sqrt {6}+2)(\sqrt {6}-3)$；
(3)$\sqrt {32}-4\sqrt {\frac {1}{2}}+\sqrt {\frac {1}{8}}$；(4)$(3\sqrt {12}-2\sqrt {\frac {1}{3}}+\sqrt {48})÷2\sqrt {3}$.

答案：
(1)解：原式$=\frac{\sqrt{7}}{7}+2\sqrt{7}-10\sqrt{7}=\frac{\sqrt{7}}{7}-\frac{56\sqrt{7}}{7}=-\frac{55\sqrt{7}}{7}$
(2)解：原式$=(\sqrt{6})^2 - 3\sqrt{6} + 2\sqrt{6} - 6 = 6 - \sqrt{6} - 6 = -\sqrt{6}$
(3)解：原式$=4\sqrt{2} - 4×\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}=4\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{9\sqrt{2}}{4}$
(4)解：原式$=(6\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3})÷2\sqrt{3}=(\frac{18\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{12\sqrt{3}}{3})÷2\sqrt{3}=\frac{28\sqrt{3}}{3}÷2\sqrt{3}=\frac{14}{3}$

17. 已知$x= \frac {\sqrt {7}+\sqrt {3}}{2},y= \frac {\sqrt {7}-\sqrt {3}}{2}$,求$3x^{2}-4xy+3y^{2}$的值.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次根式的混合运算及代数式的求值。
首先，我们根据题目给出的$x$和$y$的值，可以计算出$x+y$和$xy$的值，然后利用完全平方公式将$3x^{2}-4xy+3y^{2}$进行变形，最后代入计算。
【答案】：
解：
首先，计算$x+y$和$xy$的值：
$x+y=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}=\sqrt{7}$
$xy=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2} × \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2} = 1$
然后，利用完全平方公式，将$3x^{2}-4xy+3y^{2}$进行变形：
$3x^{2}-4xy+3y^{2}=3(x^{2}+y^{2})-4xy$
$=3(x^{2}+2xy+y^{2}-2xy)-4xy$
$=3(x+y)^{2}-10xy$
最后，将$x+y$和$xy$的值代入上述表达式中：
$3x^{2}-4xy+3y^{2}=3×(\sqrt{7})^{2}-10×1$
$=3×7-10$
$=11$

18. 当$a= \sqrt {23}-1$时,求代数式$(a+1)^{2}-(a-\sqrt {23})(a+1)$的值.

答案： 【解析】：
本题主要考查代数式的化简与求值。
首先，我们需要对代数式进行展开和化简，然后再将给定的$a$的值代入。
代数式为：
$(a+1)^{2}-(a-\sqrt {23})(a+1)$
展开得：
$(a+1)^{2} = a^{2} + 2a + 1$
$(a-\sqrt {23})(a+1) = a^{2} + a - \sqrt {23}a - \sqrt {23}$
所以，原式可以写为：
$a^{2} + 2a + 1 - (a^{2} + a - \sqrt {23}a - \sqrt {23})$
$= a^{2} + 2a + 1 - a^{2} - a + \sqrt {23}a + \sqrt {23}$
$= a + \sqrt {23}a + 1 + \sqrt {23}$
$= (1 + \sqrt {23})a + 1 + \sqrt {23}$
接下来，将$a = \sqrt {23} - 1$代入上式得：
$= (1 + \sqrt {23})(\sqrt {23} - 1) + 1 + \sqrt {23}$
$= \sqrt {23}×1 + \sqrt {23}×\sqrt {23} - 1×1 - 1×\sqrt {23} + 1 + \sqrt {23}$
$= \sqrt {23} + 23 - 1 - \sqrt {23} + 1 + \sqrt {23}$
$= 23 + \sqrt {23}$
【答案】：
$23 + \sqrt {23}$

19. 阅读下列解题过程.
化简：$\frac {4\sqrt {10}}{\sqrt {8}+\sqrt {5}+\sqrt {13}}= \frac {(8+4\sqrt {10}+5)-13}{\sqrt {8}+\sqrt {5}+\sqrt {13}}= \frac {(\sqrt {8}+\sqrt {5})^{2}-(\sqrt {13})^{2}}{\sqrt {8}+\sqrt {5}+\sqrt {13}}= \sqrt {8}+\sqrt {5}-\sqrt {13}$.
这样的化简方法比较适用于像这类具有某种特征的根式化简的题目.
(1)请利用上述方法,化简：$\frac {2\sqrt {6}}{\sqrt {2}+\sqrt {3}+\sqrt {5}}$；
(2)仔细分析化简过程,然后找出规律,把这解题方法做尽可能的推广.

答案： 【解析】：
(1)首先，我们观察原式$\frac {2\sqrt {6}}{\sqrt {2}+\sqrt {3}+\sqrt {5}}$，发现分子可以写成$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2$的形式，即：
$\frac {2\sqrt {6}}{\sqrt {2}+\sqrt {3}+\sqrt {5}} = \frac {(\sqrt {2} + \sqrt {3})^{2} - (\sqrt {5})^{2}}{\sqrt {2} + \sqrt {3} + \sqrt {5}}$
利用平方差公式，我们可以将分母进行化简，得到：
$= \frac {(\sqrt {2} + \sqrt {3} + \sqrt {5})(\sqrt {2} + \sqrt {3} - \sqrt {5})}{\sqrt {2} + \sqrt {3} + \sqrt {5}}$
$= \sqrt {2} + \sqrt {3} - \sqrt {5}$
(2)对于具有$\frac {2\sqrt {ab}}{\sqrt {a} + \sqrt {b} + \sqrt {a + b}}$形式的根式，其中$a,b,a + b$都要大于0，我们可以采用类似的方法进行化简。即：
$\frac {2\sqrt {ab}}{\sqrt {a} + \sqrt {b} + \sqrt {a + b}} = \frac {(\sqrt {a} + \sqrt {b})^{2} - (\sqrt {a + b})^{2}}{\sqrt {a} + \sqrt {b} + \sqrt {a + b}}$
$= \frac {(\sqrt {a} + \sqrt {b} + \sqrt {a + b})(\sqrt {a} + \sqrt {b} - \sqrt {a + b})}{\sqrt {a} + \sqrt {b} + \sqrt {a + b}}$
$= \sqrt {a} + \sqrt {b} - \sqrt {a + b}$
【答案】：
(1)$\sqrt {2} + \sqrt {3} - \sqrt {5}$
(2)对于形如$\frac {2\sqrt {ab}}{\sqrt {a} + \sqrt {b} + \sqrt {a + b}}$的根式，其中$a ＞ 0,b ＞ 0,a + b ＞ 0$，化简结果为$\sqrt {a} + \sqrt {b} - \sqrt {a + b}$。