搜索
17. (1)已知$y= \sqrt {3-x}+\sqrt {x-3}+5$,则$x^{2}-xy$的值是多少?
(2)已知$a= 5+2\sqrt {6},b= 5-2\sqrt {6}$,求$\frac {a}{b}+\frac {b}{a}$的值.
(2)已知$a= 5+2\sqrt {6},b= 5-2\sqrt {6}$,求$\frac {a}{b}+\frac {b}{a}$的值.
答案：
【分析】：
本题主要考查二次根式有意义的条件及代数式求值。
（1）首先，我们需要确定$x$的取值范围，使得$y = \sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 3} + 5$中的根式都有意义。
然后，将$x$的值代入$x^2 - xy$进行计算。
（2）先将$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$进行通分，然后利用完全平方公式和平方差公式进行化简，最后代入$a$和$b$的值进行计算。
【解答】：
（1）由于$y = \sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 3} + 5$中的根式要有意义，所以$3 - x \geq 0$且$x - 3 \geq 0$，解得$x \leq 3$且$x \geq 3$，所以$x = 3$。
将$x = 3$代入原式，得到$y = 5$。
所以，$x^2 - xy = 3^2 - 3 × 5 = 9 - 15 = -6$。
（2）
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$
$= \frac{(a + b)^2 - 2ab}{ab}$
代入$a = 5 + 2\sqrt{6}$，$b = 5 - 2\sqrt{6}$，得到：
$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{(5 + 2\sqrt{6} + 5 - 2\sqrt{6})^2 - 2(5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6})}{(5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6})}$
$= \frac{100 - 2(25 - 24)}{25 - 24}$
$= \frac{100 - 2}{1}$
$= 98$
所以，$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 98$。
【答案】：
（1）$-6$；
（2）$98$。
本题主要考查二次根式有意义的条件及代数式求值。
（1）首先，我们需要确定$x$的取值范围，使得$y = \sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 3} + 5$中的根式都有意义。
然后，将$x$的值代入$x^2 - xy$进行计算。
（2）先将$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$进行通分，然后利用完全平方公式和平方差公式进行化简，最后代入$a$和$b$的值进行计算。
【解答】：
（1）由于$y = \sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 3} + 5$中的根式要有意义，所以$3 - x \geq 0$且$x - 3 \geq 0$，解得$x \leq 3$且$x \geq 3$，所以$x = 3$。
将$x = 3$代入原式，得到$y = 5$。
所以，$x^2 - xy = 3^2 - 3 × 5 = 9 - 15 = -6$。
（2）
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$
$= \frac{(a + b)^2 - 2ab}{ab}$
代入$a = 5 + 2\sqrt{6}$，$b = 5 - 2\sqrt{6}$，得到：
$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{(5 + 2\sqrt{6} + 5 - 2\sqrt{6})^2 - 2(5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6})}{(5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6})}$
$= \frac{100 - 2(25 - 24)}{25 - 24}$
$= \frac{100 - 2}{1}$
$= 98$
所以，$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 98$。
【答案】：
（1）$-6$；
（2）$98$。
18. 已知实数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示,化简:$\sqrt {a^{2}}-|a+c|+\sqrt {(c-b)^{2}}-|-b|$.
答案：
【解析】：
本题可根据实数$a$、$b$、$c$在数轴上的位置，判断出$a$、$a + c$、$c - b$、$-b$的正负性，再根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=\vert x\vert$以及绝对值的性质对原式进行化简。
步骤一：根据数轴判断$a$、$a + c$、$c - b$、$-b$的正负性
由数轴可知$c\lt a\lt0\lt b$，且$\vert c\vert\gt\vert a\vert$，$\vert b\vert\lt\vert c\vert$。
因为$c\lt a\lt0$，所以$a$是负数，即$a\lt0$。
因为$c\lt0$，$a\lt0$，两个负数相加还是负数，所以$a + c\lt0$。
因为$c\lt0$，$b\gt0$，且$\vert c\vert\gt\vert b\vert$，负数的绝对值大则这个负数小，所以$c - b\lt0$。
因为$b\gt0$，所以$-b\lt0$。
步骤二：根据二次根式的性质和绝对值的性质化简原式
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=\vert x\vert$，将原式$\sqrt {a^{2}}-|a+c|+\sqrt {(c-b)^{2}}-|-b|$中的二次根式进行转化，可得$\vert a\vert - \vert a + c\vert + \vert c - b\vert - \vert -b\vert$。
再根据绝对值的性质：当$x\lt0$时，$\vert x\vert=-x$，对各项进行化简：
因为$a\lt0$，所以$\vert a\vert=-a$。
因为$a + c\lt0$，所以$\vert a + c\vert=-(a + c)=-a - c$。
因为$c - b\lt0$，所以$\vert c - b\vert=-(c - b)=b - c$。
因为$-b\lt0$，所以$\vert -b\vert=-(-b)=b$。
将上述化简结果代入$\vert a\vert - \vert a + c\vert + \vert c - b\vert - \vert -b\vert$可得：
$\begin{aligned}&-a - (-a - c) + (b - c) - b\\=&-a + a + c + b - c - b\\=&(-a + a)+(c - c)+(b - b)\\=&0\end{aligned}$
【答案】：
$0$
本题可根据实数$a$、$b$、$c$在数轴上的位置，判断出$a$、$a + c$、$c - b$、$-b$的正负性，再根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=\vert x\vert$以及绝对值的性质对原式进行化简。
步骤一：根据数轴判断$a$、$a + c$、$c - b$、$-b$的正负性
由数轴可知$c\lt a\lt0\lt b$，且$\vert c\vert\gt\vert a\vert$，$\vert b\vert\lt\vert c\vert$。
因为$c\lt a\lt0$，所以$a$是负数，即$a\lt0$。
因为$c\lt0$，$a\lt0$，两个负数相加还是负数，所以$a + c\lt0$。
因为$c\lt0$，$b\gt0$，且$\vert c\vert\gt\vert b\vert$，负数的绝对值大则这个负数小，所以$c - b\lt0$。
因为$b\gt0$，所以$-b\lt0$。
步骤二：根据二次根式的性质和绝对值的性质化简原式
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=\vert x\vert$，将原式$\sqrt {a^{2}}-|a+c|+\sqrt {(c-b)^{2}}-|-b|$中的二次根式进行转化，可得$\vert a\vert - \vert a + c\vert + \vert c - b\vert - \vert -b\vert$。
再根据绝对值的性质：当$x\lt0$时，$\vert x\vert=-x$，对各项进行化简：
因为$a\lt0$，所以$\vert a\vert=-a$。
因为$a + c\lt0$，所以$\vert a + c\vert=-(a + c)=-a - c$。
因为$c - b\lt0$，所以$\vert c - b\vert=-(c - b)=b - c$。
因为$-b\lt0$，所以$\vert -b\vert=-(-b)=b$。
将上述化简结果代入$\vert a\vert - \vert a + c\vert + \vert c - b\vert - \vert -b\vert$可得：
$\begin{aligned}&-a - (-a - c) + (b - c) - b\\=&-a + a + c + b - c - b\\=&(-a + a)+(c - c)+(b - b)\\=&0\end{aligned}$
【答案】：
$0$
19. 观察下面的变形规律:
$\frac {1}{\sqrt {2}+1}= \sqrt {2}-1,\frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {2}}= \sqrt {3}-\sqrt {2},\frac {1}{\sqrt {4}+\sqrt {3}}= \sqrt {4}-\sqrt {3},\frac {1}{\sqrt {5}+\sqrt {4}}= \sqrt {5}-\sqrt {4},...$.
解答下面的问题:
(1)若 n 为正整数,请你猜想$\frac {1}{\sqrt {n+1}+\sqrt {n}}= $
(2)计算:$(\frac {1}{\sqrt {2}+1}+\frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {2}}+\frac {1}{\sqrt {4}+\sqrt {3}}+... +\frac {1}{\sqrt {2026}+\sqrt {2025}})×(\sqrt {2026}+1)$.
$\frac {1}{\sqrt {2}+1}= \sqrt {2}-1,\frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {2}}= \sqrt {3}-\sqrt {2},\frac {1}{\sqrt {4}+\sqrt {3}}= \sqrt {4}-\sqrt {3},\frac {1}{\sqrt {5}+\sqrt {4}}= \sqrt {5}-\sqrt {4},...$.
解答下面的问题:
(1)若 n 为正整数,请你猜想$\frac {1}{\sqrt {n+1}+\sqrt {n}}= $
$\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$
；(2)计算:$(\frac {1}{\sqrt {2}+1}+\frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {2}}+\frac {1}{\sqrt {4}+\sqrt {3}}+... +\frac {1}{\sqrt {2026}+\sqrt {2025}})×(\sqrt {2026}+1)$.
2025
答案：
【解析】：
(1) 观察给出的数列，我们可以看到每个式子都具有一种特定的形式，即分数的分母为两个连续的开方数之和，而分子为1。通过观察，我们可以发现，每个式子都可以转化为两个开方数的差的形式。基于这个观察，我们可以猜想对于正整数n，$\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ 可以转化为 $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$。
(2) 对于这个计算题，我们可以利用
(1)中的结论，将每个分数项转化为两个开方数的差的形式。这样，我们可以发现，从第二项开始，每一项都会与前一项或后一项抵消，留下最开始的 $-1$ 和最后的 $\sqrt{2026}$。然后，我们将这个结果与 $\sqrt{2026} + 1$ 相乘，得到最终结果。
【答案】：
(1) $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$
(2) 原式
$= (\sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + \ldots + \sqrt{2026} - \sqrt{2025}) × (\sqrt{2026} + 1)$
$= (\sqrt{2026} - 1) × (\sqrt{2026} + 1)$
$= 2026 - 1$
$= 2025$
(1) 观察给出的数列，我们可以看到每个式子都具有一种特定的形式，即分数的分母为两个连续的开方数之和，而分子为1。通过观察，我们可以发现，每个式子都可以转化为两个开方数的差的形式。基于这个观察，我们可以猜想对于正整数n，$\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ 可以转化为 $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$。
(2) 对于这个计算题，我们可以利用
(1)中的结论，将每个分数项转化为两个开方数的差的形式。这样，我们可以发现，从第二项开始，每一项都会与前一项或后一项抵消，留下最开始的 $-1$ 和最后的 $\sqrt{2026}$。然后，我们将这个结果与 $\sqrt{2026} + 1$ 相乘，得到最终结果。
【答案】：
(1) $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$
(2) 原式
$= (\sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + \ldots + \sqrt{2026} - \sqrt{2025}) × (\sqrt{2026} + 1)$
$= (\sqrt{2026} - 1) × (\sqrt{2026} + 1)$
$= 2026 - 1$
$= 2025$
查看更多完整答案，请扫码查看
