《2025年中学生世界八年级数学上册沪教版五四制》

1. 一元二次方程$x^{2}+2x-m= 0$经过配方后的方程是 (C)
A.$(x+1)^{2}= m^{2}+1$；
B.$(x+1)^{2}= m-1$；
C.$(x+1)^{2}= m+1$；.
D.$(x+1)^{2}= 1-m$.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的配方方法。
对于一元二次方程 $x^{2} + 2x - m = 0$，我们需要将其转化为完全平方的形式。
首先，将方程 $x^{2} + 2x - m = 0$ 改写为 $x^{2} + 2x = m$。
接下来，为了配方，我们在等式的两边都加上1（因为一次项系数的一半的平方是1），得到
$x^{2} + 2x + 1 = m + 1$。
这样，我们就将原方程转化为了完全平方的形式，即 $(x + 1)^{2} = m + 1$。
对比选项，我们发现这与选项C一致。
【答案】：
C. $(x+1)^{2} = m+1$。

2. 把方程$x^{2}+3= 4x$配方,得 (C)
A.$(x-2)^{2}= 7$；
B.$(x+2)^{2}= 21$；
C.$(x-2)^{2}= 1$；
D.$(x+2)^{2}= 2$.

答案： 【解析】：
本题考查的是使用配方法求解一元二次方程。
首先，将原方程 $x^{2} + 3 = 4x$ 改写为标准形式：
$x^{2} - 4x + 3 = 0$
$x^{2} - 4x = -3$
为了配方，需要使左侧成为一个完全平方，即 $(x-h)^{2}$ 的形式。
观察 $x^{2} - 4x$，可以发现，如果加上 $4$，则它可以写成 $(x-2)^{2}$。于是，方程两边同时加 $4$：
$x^{2} - 4x + 4 = -3 + 4$
$(x-2)^{2} = 1$
由此可见，配方后的方程是 $(x-2)^{2} = 1$。
【答案】：
C. $(x-2)^{2} = 1$

3. 用配方法解方程$x^{2}-5x+2= 0$时,以下变形正确的是 (A)
A.$(x-\frac {5}{2})^{2}= \frac {17}{4}$；
B.$(x-\frac {5}{2})^{2}= \frac {21}{4}$；
C.$(x-\frac {5}{2})^{2}= \frac {25}{4}$；
D.$(x-\frac {5}{2})^{2}= \frac {33}{4}$.

答案： 【解析】：
本题考查了一元二次方程的解法中的配方法。
首先，我们有原方程 $x^{2} - 5x + 2 = 0$。
为了配方，我们需要将常数项移到等式的另一边，得到 $x^{2} - 5x = -2$。
接下来，为了完成配方，我们需要找到一次项系数的一半，即 $-\frac{5}{2}$，然后求其平方，即 $\left(-\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{25}{4}$。
将这个平方数加到等式的两边，得到 $x^{2} - 5x + \frac{25}{4} = -2 + \frac{25}{4}$。
简化后，得到 $\left(x - \frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{17}{4}$。
与选项进行对比，我们发现这与选项A相匹配。
【答案】：
A. $\left(x - \frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{17}{4}$。

4. $x^{2}-4x+$4$=(x-$2$)^{2}$.

答案： 【解析】：
本题考查的是完全平方公式的应用。
完全平方公式为$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$。
对于给定的式子$x^{2}-4x+$____，可以观察到它类似于完全平方公式的一部分，其中$a=x$，$2ab=4x$，从而得出$b=2$。
根据完全平方公式，可以得到$b^{2}=2^{2}=4$，并且$(x-b)^{2}=(x-2)^{2}$。
所以，空格中应填入的数字分别是$4$和$2$。
【答案】：
$4$；$2$

5. $x^{2}+\frac {1}{2}x+$$\frac{1}{16}$$=(x+$$\frac{1}{4}$$)^{2}$.

答案： 【解析】：
本题考查了一元二次方程的配方方法，即通过将一元二次方程转化为完全平方的形式来求解。
对于形式为$x^{2} + bx + c = 0$的一元二次方程，如果可以通过配方转化为$(x + m)^{2} = n$的形式，将更容易求解。
在本题中，给定的方程是$x^{2} + \frac{1}{2}x + \underline{\hspace{1em}} = (x + \underline{\hspace{1em}})^{2}$。
首先，我们观察$x^{2} + \frac{1}{2}x$，为了将其转化为完全平方的形式，我们需要找到一个数，使得$x^{2} + \frac{1}{2}x$加上这个数后成为一个完全平方。
这个数可以通过$\left(\frac{b}{2}\right)^{2}$来求得，其中$b$是$x$的系数，即$\frac{1}{2}$。
计算得$\left(\frac{1}{4}\right)^{2} = \frac{1}{16}$。
因此，方程可以写为$x^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = (x + \frac{1}{4})^{2}$。
【答案】：
$\frac{1}{16}$；$\frac{1}{4}$。

6. $x^{2}-2(a+b)x+$$a^{2} + 2ab + b^{2}$$=[x-$$a+b$$]^{2}$.

答案： 【解析】：
本题考查的是一元二次方程的完全平方公式。
对于形式$x^{2}-2(a+b)x+$____$=[x-$____$]^{2}$，我们可以参考完全平方公式$(x-p)^{2} = x^{2} - 2px + p^{2}$。
在方程的左侧，我们已经有了$-2(a+b)x$这一项，与完全平方公式中的$-2px$相对应，我们可以得出$p = a+b$。
那么，完全平方的常数项应该是$p^{2} = (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$。
所以，方程可以写为$x^{2}-2(a+b)x+a^{2} + 2ab + b^{2}=[x-(a+b)]^{2}$。
因此，空白处应分别填入$a^{2} + 2ab + b^{2}$和$a+b$。
【答案】：
$a^{2} + 2ab + b^{2}$；$a+b$。

7. $a(x^{2}+\frac {b}{a}x+$$\frac {b^{2}}{4a^{2}}$$)= a(x+$$\frac {b}{2a}$$)^{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的配方方法，即通过添加和减去适当的常数，使得一元二次方程可以转化为完全平方的形式。
首先，我们需要将方程 $x^{2}+\frac {b}{a}x$ 转化为完全平方的形式。
为了完成平方，我们需要找到一个数，使得 $x^{2}+\frac {b}{a}x$ 可以表示为 $(x+m)^{2}$ 的形式。
根据完全平方公式，我们知道 $(x+m)^{2} = x^{2} + 2mx + m^{2}$。
对比 $x^{2}+\frac {b}{a}x$ 和 $x^{2} + 2mx$，我们可以得到 $2m = \frac {b}{a}$，从而解得 $m = \frac {b}{2a}$。
因此，我们需要添加的常数是 $m^{2} =(\frac {b}{2a})^{2} = \frac {b^{2}}{4a^{2}}$。
所以，原方程可以写为：
$a(x^{2}+\frac {b}{a}x+\frac {b^{2}}{4a^{2}})= a(x+\frac {b}{2a})^{2}$。
这样，我们就找到了缺失的两部分，分别是 $\frac {b^{2}}{4a^{2}}$ 和 $\frac {b}{2a}$。
【答案】：
$\frac {b^{2}}{4a^{2}}$；$\frac {b}{2a}$。

8. 将二次三项式$x^{2}-2x-2$进行配方,其结果是$(x-1)^{2} - 3$.

答案： 【解析】：
本题主要考查利用配方法将二次三项式进行变形。
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。
对于二次三项式$x^{2}-2x-2$，我们可以将其中的$x^{2}-2x$进行配方。
首先，我们需要找到一个数，使得$x^{2}-2x$可以变成一个完全平方。
这个数是1（因为$(-2/2)^{2}=1$），所以我们给$x^{2}-2x$加上1，然后再减去1，以保持整个式子的值不变。
具体计算如下：
$x^{2}-2x-2 = x^{2}-2x + 1 - 1 - 2 = (x-1)^{2} - 3$。
【答案】：
$(x-1)^{2} - 3$。

9. 若$x^{2}+kx+\frac {1}{16}= 0$是一个完全平方式,则k的值是$\pm\frac{1}{2}$.

答案： 【解析】：
本题考查的是完全平方公式的应用。
由于$x^{2}+kx+\frac{1}{16}=0$是一个完全平方式，可以将其表示为$(x+a)^{2}=0$的形式。
根据完全平方公式，有：
$(x+a)^{2}=x^{2}+2ax+a^{2}$，
将上式与$x^{2}+kx+\frac{1}{16}=0$对比，得到：
$2a=k$，
$a^{2}=\frac{1}{16}$，
从第二个方程，可以解得$a=\pm\frac{1}{4}$，
代入第一个方程，得到$k=2a=\pm\frac{1}{2}$。
【答案】：
$k=\pm\frac{1}{2}$。

10. 方程$3x^{2}+\sqrt {2}x-6= 0$左边配成一个完全平方式后,所得方程是$(x + \frac{\sqrt{2}}{6})^{2} = \frac{37}{18}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查了配方法解一元二次方程的知识点。
配方法是指将一个二次多项式通过加上和减去一个常数，转化为一个完全平方的形式。
对于方程 $3x^{2} + \sqrt{2}x - 6 = 0$，
首先，我们将常数项移到等号的右边，得到：
$3x^{2} + \sqrt{2}x = 6$
然后，我们将二次项的系数化为1，即将方程两边都除以3，得到：
$x^{2} + \frac{\sqrt{2}}{3}x = 2$
接下来，我们进行配方。
为了配成完全平方，我们需要找到一次项系数的一半的平方，即 $(\frac{\sqrt{2}}{6})^{2} = \frac{1}{18}$，并将其加到等式的两边：
$x^{2} + \frac{\sqrt{2}}{3}x + \frac{1}{18} = 2 + \frac{1}{18}$
这样，左边就变成了一个完全平方的形式：
$(x + \frac{\sqrt{2}}{6})^{2} = \frac{37}{18}$
【答案】：
$(x + \frac{\sqrt{2}}{6})^{2} = \frac{37}{18}$

11. 用配方法解下列方程:
(1)$x^{2}-2x-5= 0$； (2)$x^{2}-6x-15= 0$；
(3)$x^{2}-2\sqrt {2}x-4= 0$； (4)$x^{2}-5ax+6a^{2}= 0$.

答案： 【解析】：
本题主要考查用配方法解一元二次方程。
配方法的一般步骤是：
1. 将常数项移到等式右边。
2. 将二次项系数化为1（本题二次项系数已为1，无需此步）。
3. 在等式两边同时加上一次项系数的一半的平方。
4. 将左边写成完全平方的形式。
5. 开方求解。
(1) 对于方程 $x^{2}-2x-5= 0$
移项得：$x^{2}-2x = 5$，
配方得：$x^{2}-2x+1 = 5+1$，
即 $(x-1)^{2} = 6$，
开方得：$x-1 = \pm \sqrt{6}$，
解得 $x_{1} = 1 + \sqrt{6}$，$x_{2} = 1 - \sqrt{6}$。
(2) 对于方程 $x^{2}-6x-15= 0$
移项得：$x^{2}-6x = 15$，
配方得：$x^{2}-6x+9 = 15+9$，
即 $(x-3)^{2} = 24$，
开方得：$x-3 = \pm 2\sqrt{6}$，
解得 $x_{1} = 3 + 2\sqrt{6}$，$x_{2} = 3 - 2\sqrt{6}$。
(3) 对于方程 $x^{2}-2\sqrt {2}x-4= 0$
移项得：$x^{2}-2\sqrt {2}x = 4$，
配方得：$x^{2}-2\sqrt {2}x+2 = 4+2$，
即 $(x-\sqrt {2})^{2} = 6$，
开方得：$x-\sqrt {2} = \pm \sqrt{6}$，
解得 $x_{1} = \sqrt {2} + \sqrt{6}$，$x_{2} = \sqrt {2} - \sqrt{6}$。
(4) 对于方程 $x^{2}-5ax+6a^{2}= 0$
移项得：$x^{2}-5ax = -6a^{2}$，
配方得：$x^{2}-5ax+\frac{25}{4}a^{2} = -6a^{2}+\frac{25}{4}a^{2}$，
即 $(x-\frac{5}{2}a)^{2} = \frac{1}{4}a^{2}$，
开方得：$x-\frac{5}{2}a = \pm \frac{1}{2}a$，
解得 $x_{1} = 3a$，$x_{2} = 2a$。
【答案】：
(1) $x_{1} = 1 + \sqrt{6}$，$x_{2} = 1 - \sqrt{6}$；
(2) $x_{1} = 3 + 2\sqrt{6}$，$x_{2} = 3 - 2\sqrt{6}$；
(3) $x_{1} = \sqrt {2} + \sqrt{6}$，$x_{2} = \sqrt {2} - \sqrt{6}$；
(4) $x_{1} = 3a$，$x_{2} = 2a$。