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1. 下列各数是无理数的是 (
A.$π$；
B.$\frac {22}{7}$；
C.$\sqrt {9}$；
D.$\sqrt [5]{32}$.
A
)A.$π$；
B.$\frac {22}{7}$；
C.$\sqrt {9}$；
D.$\sqrt [5]{32}$.
答案：
【解析】：
本题主要考察无理数和有理数的定义及判断。
无理数是不能表示为两个整数的比的数，且其小数部分是无限不循环的。
A选项，$π$是一个无理数，因为它不能表示为两个整数的比，且其小数部分是无限不循环的。
B选项，$\frac{22}{7}$是两个整数的比，所以是有理数。
C选项，$\sqrt{9}=3$，是整数，属于有理数。
D选项，$\sqrt[5]{32}=2$，也是整数，属于有理数。
根据以上分析，只有A选项是无理数。
【答案】：
A
本题主要考察无理数和有理数的定义及判断。
无理数是不能表示为两个整数的比的数，且其小数部分是无限不循环的。
A选项，$π$是一个无理数，因为它不能表示为两个整数的比，且其小数部分是无限不循环的。
B选项，$\frac{22}{7}$是两个整数的比，所以是有理数。
C选项，$\sqrt{9}=3$，是整数，属于有理数。
D选项，$\sqrt[5]{32}=2$，也是整数，属于有理数。
根据以上分析，只有A选项是无理数。
【答案】：
A
2. $-8$的立方根是 (
A.$2\sqrt {2}$；
B.2；
C.$-2$；
D.$-2\sqrt {2}$.
C
)A.$2\sqrt {2}$；
B.2；
C.$-2$；
D.$-2\sqrt {2}$.
答案：
【解析】：
本题主要考察立方根的定义及计算。
根据立方根的定义，我们需要找到一个数$x$，满足$x^3 = -8$。
通过计算，我们可以得出$(-2)^3 = -8$，
所以$-8$的立方根是$-2$。
【答案】：
C. $-2$
本题主要考察立方根的定义及计算。
根据立方根的定义，我们需要找到一个数$x$，满足$x^3 = -8$。
通过计算，我们可以得出$(-2)^3 = -8$，
所以$-8$的立方根是$-2$。
【答案】：
C. $-2$
3. 下列说法正确的是 (
A.$-81的平方根是-9$；
B.$\sqrt {81}的平方根是\pm 9$；
C.$x+\sqrt {x^{2}}= 2x$；
D.$-\sqrt [5]{a^{2}+1}$一定是负数.
D
)A.$-81的平方根是-9$；
B.$\sqrt {81}的平方根是\pm 9$；
C.$x+\sqrt {x^{2}}= 2x$；
D.$-\sqrt [5]{a^{2}+1}$一定是负数.
答案：
【解析】：
本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的性质以及代数式的化简。
A选项：根据平方根的定义，一个负数没有实数平方根，因为任何实数的平方都是非负的。所以，$-81$没有实数平方根，故A选项错误。
B选项：首先，$\sqrt{81} = 9$，因为$9 × 9 = 81$。然后，求$9$的平方根，得到$\pm 3$，因为$3 × 3 = 9$且$(-3) × (-3) = 9$。所以，$\sqrt{81}$的平方根是$\pm 3$，不是$\pm 9$，故B选项错误。
C选项：对于$x + \sqrt{x^2}$，当$x \geq 0$时，$\sqrt{x^2} = x$，所以$x + \sqrt{x^2} = 2x$；当$x ＜ 0$时，$\sqrt{x^2} = -x$，所以$x + \sqrt{x^2} = 0$。因此，C选项只在$x \geq 0$时成立，不是对所有$x$都成立，故C选项错误。
D选项：对于$-\sqrt[5]{a^2 + 1}$，由于$a^2 \geq 0$，所以$a^2 + 1 ＞ 0$。因此，$\sqrt[5]{a^2 + 1} ＞ 0$，那么$-\sqrt[5]{a^2 + 1} ＜ 0$。所以，D选项正确。
【答案】：
D
本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的性质以及代数式的化简。
A选项：根据平方根的定义，一个负数没有实数平方根，因为任何实数的平方都是非负的。所以，$-81$没有实数平方根，故A选项错误。
B选项：首先，$\sqrt{81} = 9$，因为$9 × 9 = 81$。然后，求$9$的平方根，得到$\pm 3$，因为$3 × 3 = 9$且$(-3) × (-3) = 9$。所以，$\sqrt{81}$的平方根是$\pm 3$，不是$\pm 9$，故B选项错误。
C选项：对于$x + \sqrt{x^2}$，当$x \geq 0$时，$\sqrt{x^2} = x$，所以$x + \sqrt{x^2} = 2x$；当$x ＜ 0$时，$\sqrt{x^2} = -x$，所以$x + \sqrt{x^2} = 0$。因此，C选项只在$x \geq 0$时成立，不是对所有$x$都成立，故C选项错误。
D选项：对于$-\sqrt[5]{a^2 + 1}$，由于$a^2 \geq 0$，所以$a^2 + 1 ＞ 0$。因此，$\sqrt[5]{a^2 + 1} ＞ 0$，那么$-\sqrt[5]{a^2 + 1} ＜ 0$。所以，D选项正确。
【答案】：
D
4. 下列说法正确的是 (
A.无限小数都是无理数；
B.带根号的数都是无理数；
C.无理数都是无限小数；
D.无理数都是带根号的数.
C
)A.无限小数都是无理数；
B.带根号的数都是无理数；
C.无理数都是无限小数；
D.无理数都是带根号的数.
答案：
【解析】：
本题主要考察对无理数和有理数定义的理解，以及无理数和有理数之间的区别。
A选项：无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中只有无限不循环小数是无理数，所以A选项错误；
B选项：带根号的数不一定都是无理数，例如$\sqrt{4} = 2$，这是一个有理数，所以B选项错误；
C选项：无理数的定义是无限不循环小数，这自然满足无限小数的定义，所以C选项正确；
D选项：无理数不仅仅包括带根号的数，例如π就是一个无理数，但它并不带根号，所以D选项错误。
【答案】：
C
本题主要考察对无理数和有理数定义的理解，以及无理数和有理数之间的区别。
A选项：无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中只有无限不循环小数是无理数，所以A选项错误；
B选项：带根号的数不一定都是无理数，例如$\sqrt{4} = 2$，这是一个有理数，所以B选项错误；
C选项：无理数的定义是无限不循环小数，这自然满足无限小数的定义，所以C选项正确；
D选项：无理数不仅仅包括带根号的数，例如π就是一个无理数，但它并不带根号，所以D选项错误。
【答案】：
C
5. 下列计算正确的是 (
A.$\sqrt {3}+\sqrt {5}= \sqrt {8}$；
B.$5\sqrt {x}-2\sqrt {x}= 3$；
C.$2\sqrt {x}-3\sqrt {x}= 2-3\sqrt {x}$；
D.$2\sqrt {x}+3\sqrt {x}= 5\sqrt {x}$.
D
)A.$\sqrt {3}+\sqrt {5}= \sqrt {8}$；
B.$5\sqrt {x}-2\sqrt {x}= 3$；
C.$2\sqrt {x}-3\sqrt {x}= 2-3\sqrt {x}$；
D.$2\sqrt {x}+3\sqrt {x}= 5\sqrt {x}$.
答案：
【解析】：
本题主要考察二次根式的加减法。
A. 对于 $\sqrt{3} + \sqrt{5}$，由于$\sqrt{3}$与$\sqrt{5}$不是同类二次根式，因此不能合并。所以，$\sqrt{3} + \sqrt{5} \neq \sqrt{8}$，故A选项错误。
B. 对于 $5\sqrt{x} - 2\sqrt{x}$，由于它们是同类二次根式，可以合并。计算得 $5\sqrt{x} - 2\sqrt{x} = 3\sqrt{x}$，与选项给出的 $3$ 不符，故B选项错误。
C. 对于 $2\sqrt{x} - 3\sqrt{x}$，同样由于它们是同类二次根式，可以合并。计算得 $2\sqrt{x} - 3\sqrt{x} = -\sqrt{x}$，与选项给出的 $2-3\sqrt{x}$ 不符，故C选项错误。
D. 对于 $2\sqrt{x} + 3\sqrt{x}$，由于它们是同类二次根式，可以合并。计算得 $2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} = 5\sqrt{x}$，与选项给出的 $5\sqrt{x}$ 相符，故D选项正确。
【答案】：
D
本题主要考察二次根式的加减法。
A. 对于 $\sqrt{3} + \sqrt{5}$，由于$\sqrt{3}$与$\sqrt{5}$不是同类二次根式，因此不能合并。所以，$\sqrt{3} + \sqrt{5} \neq \sqrt{8}$，故A选项错误。
B. 对于 $5\sqrt{x} - 2\sqrt{x}$，由于它们是同类二次根式，可以合并。计算得 $5\sqrt{x} - 2\sqrt{x} = 3\sqrt{x}$，与选项给出的 $3$ 不符，故B选项错误。
C. 对于 $2\sqrt{x} - 3\sqrt{x}$，同样由于它们是同类二次根式，可以合并。计算得 $2\sqrt{x} - 3\sqrt{x} = -\sqrt{x}$，与选项给出的 $2-3\sqrt{x}$ 不符，故C选项错误。
D. 对于 $2\sqrt{x} + 3\sqrt{x}$，由于它们是同类二次根式，可以合并。计算得 $2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} = 5\sqrt{x}$，与选项给出的 $5\sqrt{x}$ 相符，故D选项正确。
【答案】：
D
6. 已知三个实数$a$、$b$、$c$在数轴上对应的点如图所示,则$|a-b|+|c-a|-|c+b|$的值可能是 (
A.$2a$；
B.$2b$；
C.$2c$；
D.$-2a$.
D
)A.$2a$；
B.$2b$；
C.$2c$；
D.$-2a$.
答案：
【解析】：
首先，根据数轴上的点的位置，可以确定$a$、$b$、$c$的大小关系。
从数轴上可以看出，$a \lt c \lt 0 \lt b$，且$\left | b \right | \gt \left | a \right | \gt \left | c \right | $。
接下来，根据这些关系，去掉绝对值符号：
对于$\left | a-b \right | $，因为$a \lt b$，所以$\left | a-b \right | =b-a$；
对于$\left | c-a \right | $，因为$c \gt a$，所以$\left | c-a \right |=c-a$；
对于$\left | c+b \right | $，因为$c \lt 0$，$b \gt 0$，且$\left | b \right | \gt \left | c \right | $，所以$c+b \gt 0$，$\left | c+b \right |=c+b$。
将上述结果代入原式，得到：
$\left | a-b \right | +\left | c-a \right | -\left | c+b \right |=(b-a)+(c-a)-(c+b)=b-a+c-a-c-b=-2a$。
【答案】：
D.$-2a$。
首先，根据数轴上的点的位置，可以确定$a$、$b$、$c$的大小关系。
从数轴上可以看出，$a \lt c \lt 0 \lt b$，且$\left | b \right | \gt \left | a \right | \gt \left | c \right | $。
接下来，根据这些关系，去掉绝对值符号：
对于$\left | a-b \right | $，因为$a \lt b$，所以$\left | a-b \right | =b-a$；
对于$\left | c-a \right | $，因为$c \gt a$，所以$\left | c-a \right |=c-a$；
对于$\left | c+b \right | $，因为$c \lt 0$，$b \gt 0$，且$\left | b \right | \gt \left | c \right | $，所以$c+b \gt 0$，$\left | c+b \right |=c+b$。
将上述结果代入原式，得到：
$\left | a-b \right | +\left | c-a \right | -\left | c+b \right |=(b-a)+(c-a)-(c+b)=b-a+c-a-c-b=-2a$。
【答案】：
D.$-2a$。
7. $\sqrt {(-9)^{2}}$的平方根为
$\pm 3$
.
答案：
【解析】：
首先计算$\sqrt{(-9)^{2}}$，
由于任何数的平方都是非负的，所以$(-9)^{2} = 81$，
再对81开平方，得到$\sqrt{81} = 9$，
接下来，求9的平方根，
一个正数的平方根有两个值，一个正数和一个负数，
所以9的平方根为$\pm 3$。
【答案】：
$\pm 3$
首先计算$\sqrt{(-9)^{2}}$，
由于任何数的平方都是非负的，所以$(-9)^{2} = 81$，
再对81开平方，得到$\sqrt{81} = 9$，
接下来，求9的平方根，
一个正数的平方根有两个值，一个正数和一个负数，
所以9的平方根为$\pm 3$。
【答案】：
$\pm 3$
8. 计算：$-\sqrt [3]{0.125}=$
$-0.5$
.
答案：
【解析】：
本题考查立方根的计算。
首先，我们需要找到一个数，它的立方等于0.125。
我们知道：
$0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.125$
所以，$0.5^3 = 0.125$。
因此，$\sqrt[3]{0.125} = 0.5$。
再考虑到题目中的负号，所以：
$-\sqrt[3]{0.125} = -0.5$
【答案】：
$-0.5$
本题考查立方根的计算。
首先，我们需要找到一个数，它的立方等于0.125。
我们知道：
$0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.125$
所以，$0.5^3 = 0.125$。
因此，$\sqrt[3]{0.125} = 0.5$。
再考虑到题目中的负号，所以：
$-\sqrt[3]{0.125} = -0.5$
【答案】：
$-0.5$
9. 计算：$\sqrt [3]{(-4)^{3}}=$
-4
.
答案：
【解析】：
本题主要考查立方根的计算。
对于任意实数$a$，有$\sqrt[3]{a^{3}} = a$，这是立方根的基本性质。
应用这一性质到题目中给定的表达式$\sqrt[3]{(-4)^{3}}$，
我们可以直接得出结果。
【答案】：
$\sqrt[3]{(-4)^{3}} = -4$。
本题主要考查立方根的计算。
对于任意实数$a$，有$\sqrt[3]{a^{3}} = a$，这是立方根的基本性质。
应用这一性质到题目中给定的表达式$\sqrt[3]{(-4)^{3}}$，
我们可以直接得出结果。
【答案】：
$\sqrt[3]{(-4)^{3}} = -4$。
10. 在数轴上表示$-\sqrt {3}的点与表示x$的点的距离为
$|x + \sqrt{3}|$
.
答案：
【解析】：
本题主要考查数轴上两点间的距离公式。
在数轴上，两点间的距离等于它们对应数的差的绝对值。
设数轴上表示$-\sqrt{3}$的点为A，表示$x$的点为B，则A、B两点间的距离为：
$AB = |x - (-\sqrt{3})| = |x + \sqrt{3}|$
【答案】：
$|x + \sqrt{3}|$
本题主要考查数轴上两点间的距离公式。
在数轴上，两点间的距离等于它们对应数的差的绝对值。
设数轴上表示$-\sqrt{3}$的点为A，表示$x$的点为B，则A、B两点间的距离为：
$AB = |x - (-\sqrt{3})| = |x + \sqrt{3}|$
【答案】：
$|x + \sqrt{3}|$
11. 比较大小：$2\sqrt {3}$
＜
$3\sqrt {2}$.
答案：
【解析】：
首先，为了比较$2\sqrt{3}$和$3\sqrt{2}$的大小，我们可以将它们都平方，然后比较得到的数值。
计算$(2\sqrt{3})^{2}$，得到：
$(2\sqrt{3})^{2} = 4 × 3 = 12$
计算$(3\sqrt{2})^{2}$，得到：
$(3\sqrt{2})^{2} = 9 × 2 = 18$
由于$12 ＜ 18$，
根据平方数的性质，当两个数都是正数时，平方小的原数也小，
所以我们可以得出：
$2\sqrt{3} ＜ 3\sqrt{2}$
【答案】：
$＜$
首先，为了比较$2\sqrt{3}$和$3\sqrt{2}$的大小，我们可以将它们都平方，然后比较得到的数值。
计算$(2\sqrt{3})^{2}$，得到：
$(2\sqrt{3})^{2} = 4 × 3 = 12$
计算$(3\sqrt{2})^{2}$，得到：
$(3\sqrt{2})^{2} = 9 × 2 = 18$
由于$12 ＜ 18$，
根据平方数的性质，当两个数都是正数时，平方小的原数也小，
所以我们可以得出：
$2\sqrt{3} ＜ 3\sqrt{2}$
【答案】：
$＜$
12. 计算：$3\sqrt {5}-\frac {3}{2}\sqrt {5}= $
$\frac{3}{2}\sqrt{5}$
.
答案：
【解析】：
本题考查二次根式的加减法。
首先，我们需要理解二次根式的加减法原则，即只有同类二次根式才能进行加减运算，且加减时，系数相加减，根号部分保持不变。
题目中的两项 $3\sqrt{5}$ 和 $-\frac{3}{2}\sqrt{5}$ 是同类二次根式，因为它们的根号部分都是 $\sqrt{5}$。
根据二次根式的加减法原则，我们可以将这两项的系数进行相减：
$3\sqrt{5} - \frac{3}{2}\sqrt{5} = \left(3 - \frac{3}{2}\right)\sqrt{5}$
接着，我们计算系数的差：
$3 - \frac{3}{2} = \frac{6}{2} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$
最后，将计算得到的系数与根号部分相乘，得到最终结果：
$\frac{3}{2}\sqrt{5}$
【答案】：
$\frac{3}{2}\sqrt{5}$
本题考查二次根式的加减法。
首先，我们需要理解二次根式的加减法原则，即只有同类二次根式才能进行加减运算，且加减时，系数相加减，根号部分保持不变。
题目中的两项 $3\sqrt{5}$ 和 $-\frac{3}{2}\sqrt{5}$ 是同类二次根式，因为它们的根号部分都是 $\sqrt{5}$。
根据二次根式的加减法原则，我们可以将这两项的系数进行相减：
$3\sqrt{5} - \frac{3}{2}\sqrt{5} = \left(3 - \frac{3}{2}\right)\sqrt{5}$
接着，我们计算系数的差：
$3 - \frac{3}{2} = \frac{6}{2} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$
最后，将计算得到的系数与根号部分相乘，得到最终结果：
$\frac{3}{2}\sqrt{5}$
【答案】：
$\frac{3}{2}\sqrt{5}$
13. 计算：$[(\sqrt {2})^{3}-3\sqrt {2}]÷\sqrt {2}=$
$-1$
.
答案：
解：$\begin{aligned}[(\sqrt{2})^{3} - 3\sqrt{2}] ÷ \sqrt{2}&= [(\sqrt{2} × \sqrt{2} × \sqrt{2}) - 3\sqrt{2}] ÷ \sqrt{2}\\&= [(2 × \sqrt{2}) - 3\sqrt{2}] ÷ \sqrt{2}\\&= (2\sqrt{2} - 3\sqrt{2}) ÷ \sqrt{2}\\&= (-\sqrt{2}) ÷ \sqrt{2}\\&= -1\end{aligned}$
故答案为：$-1$
故答案为：$-1$
14. 计算：$\sqrt {5}÷(\sqrt {3})^{2}+(\sqrt {5})^{3}÷(\sqrt {5})^{2}= $
$\frac{4\sqrt{5}}{3}$
.
答案：
【解析】：
本题主要考察二次根式的乘除运算以及幂的运算法则。
首先，我们需要将题目中的表达式进行拆分和化简。
根据幂的运算法则，$(\sqrt{3})^{2} = 3$，$(\sqrt{5})^{3} = 5\sqrt{5}$，$(\sqrt{5})^{2} = 5$。
然后，我们将这些结果代入原式，得到：
$\sqrt{5} ÷ 3 + 5\sqrt{5} ÷ 5$
接着，我们进行二次根式的除法运算，得到：
$\frac{\sqrt{5}}{3} + \sqrt{5}$
最后，我们将两项合并，得到：
$\frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{3\sqrt{5}}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{3}$
【答案】：
$\frac{4\sqrt{5}}{3}$
本题主要考察二次根式的乘除运算以及幂的运算法则。
首先，我们需要将题目中的表达式进行拆分和化简。
根据幂的运算法则，$(\sqrt{3})^{2} = 3$，$(\sqrt{5})^{3} = 5\sqrt{5}$，$(\sqrt{5})^{2} = 5$。
然后，我们将这些结果代入原式，得到：
$\sqrt{5} ÷ 3 + 5\sqrt{5} ÷ 5$
接着，我们进行二次根式的除法运算，得到：
$\frac{\sqrt{5}}{3} + \sqrt{5}$
最后，我们将两项合并，得到：
$\frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{3\sqrt{5}}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{3}$
【答案】：
$\frac{4\sqrt{5}}{3}$
15. 绝对值小于$\sqrt {15}$的所有整数是
$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$
.
答案：
解：因为$9 ＜ 15 ＜ 16$，所以$\sqrt{9} ＜ \sqrt{15} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{15} ＜ 4$。
绝对值小于$\sqrt{15}$的整数，即满足$|x| ＜ \sqrt{15}$的整数$x$，所以$-\sqrt{15} ＜ x ＜ \sqrt{15}$。
又因为$\sqrt{15}$在$3$和$4$之间，所以$x$的取值为$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$。
答案：$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$
绝对值小于$\sqrt{15}$的整数，即满足$|x| ＜ \sqrt{15}$的整数$x$，所以$-\sqrt{15} ＜ x ＜ \sqrt{15}$。
又因为$\sqrt{15}$在$3$和$4$之间，所以$x$的取值为$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$。
答案：$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$
16. 若长方形的长为$\sqrt {6}cm$,面积为$8\sqrt {3}cm^{2}$,则长方形的宽约为
5.66
$cm$($\sqrt {2}\approx 1.414$,$\sqrt {3}\approx 1.732$,结果保留 2 位小数).
答案：
解：长方形的宽 = 面积 ÷ 长，即宽 = $8\sqrt{3} ÷ \sqrt{6}$。
化简：$8\sqrt{3} ÷ \sqrt{6} = 8\sqrt{\frac{3}{6}} = 8\sqrt{\frac{1}{2}} = 8×\frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$。
将$\sqrt{2} \approx 1.414$代入，得宽 ≈ $4×1.414 = 5.656$，保留两位小数为$5.66$。
5.66
化简：$8\sqrt{3} ÷ \sqrt{6} = 8\sqrt{\frac{3}{6}} = 8\sqrt{\frac{1}{2}} = 8×\frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$。
将$\sqrt{2} \approx 1.414$代入，得宽 ≈ $4×1.414 = 5.656$，保留两位小数为$5.66$。
5.66
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