《2025年中学生世界八年级数学上册沪教版五四制》

12. 解下列方程或不等式：
(1)$\sqrt{3}x+\sqrt{24}= 2\sqrt{27}$；(2)$x-1＞\sqrt{2}x$.

答案： 【解析】：
(1) 对于方程 $\sqrt{3}x + \sqrt{24} = 2\sqrt{27}$，我们首先将各项根式化为最简形式。
$\sqrt{24}$ 可以化简为 $2\sqrt{6}$，$2\sqrt{27}$ 可以化简为 $6\sqrt{3}$。
所以原方程可以写为：
$\sqrt{3}x + 2\sqrt{6} = 6\sqrt{3}$
接着移项，得到：
$\sqrt{3}x = 6\sqrt{3} - 2\sqrt{6}$
两边同时除以 $\sqrt{3}$，得到：
$x = \frac{6\sqrt{3} - 2\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$
$x = 6 - 2\sqrt{2}$
(2) 对于不等式 $x - 1 ＞ \sqrt{2}x$，我们首先将所有包含 $x$ 的项移到不等式的一侧，得到：
$x - \sqrt{2}x ＞ 1$
然后合并 $x$ 的系数，得到：
$(1 - \sqrt{2})x ＞ 1$
由于 $1 - \sqrt{2} ＜ 0$，在除以 $1 - \sqrt{2}$ 时，不等号方向会反转，得到：
$x ＜ \frac{1}{1 - \sqrt{2}}$
为了消去分母中的根号，我们可以同时乘以 $1 + \sqrt{2}$（即分母的共轭式），得到：
$x ＜ \frac{1 + \sqrt{2}}{(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})}$
$x ＜ \frac{1 + \sqrt{2}}{1 - 2}$
$x ＜ -1 - \sqrt{2}$
【答案】：
(1) $x = 6 - 2\sqrt{2}$
(2) $x ＜ -1 - \sqrt{2}$

13. 已知$x= \sqrt{3}+\sqrt{2},y= \sqrt{3}-\sqrt{2}$,求：
(1)$x^{2}-xy+y^{2}$的值；(2)$x^{3}y+xy^{3}$的值.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次根式的运算以及代数式的化简。
(1) 对于 $x^{2} - xy + y^{2}$，我们可以先求出 $x+y$ 和 $xy$ 的值，然后利用完全平方公式进行化简。
(2) 对于 $x^{3}y + xy^{3}$，我们可以先提取公因式 $xy$，然后利用平方差公式进行化简。
【答案】：
(1)
解：
首先，计算 $x+y$ 和 $xy$ 的值：
$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$
$y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
$x+y = 2\sqrt{3}$
$xy = (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 3 - 2 = 1$
然后，利用完全平方公式化简 $x^{2} - xy + y^{2}$：
$x^{2} - xy + y^{2} = (x+y)^{2} - 3xy$
$= (2\sqrt{3})^{2} - 3 × 1$
$= 12 - 3$
$= 9$
(2)
解：
首先，提取公因式 $xy$：
$x^{3}y + xy^{3} = xy(x^{2} + y^{2})$
然后，利用平方差公式化简 $x^{2} + y^{2}$：
$x^{2} + y^{2} = (x+y)^{2} - 2xy$
$= (2\sqrt{3})^{2} - 2 × 1$
$= 12 - 2$
$= 10$
所以，
$x^{3}y + xy^{3} = xy(x^{2} + y^{2})$
$= 1 × 10$
$= 10$

思维与拓展 12
已知$a= \frac{4}{\sqrt{2}-2}-\frac{1}{\sqrt{2}-1}$.
(1)化简$a$；
(2)设$m是a$的整数部分,$n是a$的小数部分,求$m^{2}+n^{2}$的值；
(3)在(2)的前提下,求关于$x的不等式(n-1)x+a＞m$的解.

答案： 1. （1）化简$a$：
对$\frac{4}{\sqrt{2}-2}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}+2$：
$\frac{4(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)}=\frac{4(\sqrt{2}+2)}{2 - 4}=\frac{4(\sqrt{2}+2)}{-2}=-2(\sqrt{2}+2)=-2\sqrt{2}-4$。
对$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}+1$：
$\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2 - 1}=\sqrt{2}+1$。
则$a=-2\sqrt{2}-4-(\sqrt{2}+1)=-3\sqrt{2}-5$。
2. （2）求$m^{2}+n^{2}$的值：
因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$3\sqrt{2}\approx4.242$，$-3\sqrt{2}\approx - 4.242$，$-3\sqrt{2}-5\approx - 9.242$。
所以$m=-10$，$n=-3\sqrt{2}-5+10 = 5 - 3\sqrt{2}$。
$m^{2}+n^{2}=(-10)^{2}+(5 - 3\sqrt{2})^{2}$
$=100+25-30\sqrt{2}+18$
$=143-30\sqrt{2}$。
3. （3）解不等式$(n - 1)x+a\gt m$：
把$n = 5 - 3\sqrt{2}$，$a=-3\sqrt{2}-5$，$m=-10$代入不等式得：
$(5 - 3\sqrt{2}-1)x-3\sqrt{2}-5\gt - 10$。
即$(4 - 3\sqrt{2})x\gt - 5 + 3\sqrt{2}$。
因为$4 - 3\sqrt{2}=4-\sqrt{18}\lt0$。
所以$x\lt\frac{-5 + 3\sqrt{2}}{4 - 3\sqrt{2}}$，分子分母同乘$4 + 3\sqrt{2}$：
$x\lt\frac{(-5 + 3\sqrt{2})(4 + 3\sqrt{2})}{(4 - 3\sqrt{2})(4 + 3\sqrt{2})}$。
展开分子$(-5 + 3\sqrt{2})(4 + 3\sqrt{2})=-20-15\sqrt{2}+12\sqrt{2}+18=-2 - 3\sqrt{2}$。
分母$16-18=-2$。
所以$x\lt\frac{-2 - 3\sqrt{2}}{-2}=1+\frac{3}{2}\sqrt{2}$。
综上，（1）$a=-3\sqrt{2}-5$；（2）$m^{2}+n^{2}=143-30\sqrt{2}$；（3）$x\lt1+\frac{3}{2}\sqrt{2}$。