《2025年中学生世界八年级数学上册沪教版五四制》

1. 下列计算正确的是 (D)
A.$x^{3}+x^{2}= x^{6}$；
B.$m^{2}\cdot m^{3}= m^{6}$；
C.$3\sqrt {2}-\sqrt {2}= 3$；
D.$\sqrt {14}×\sqrt {7}= 7\sqrt {2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察幂的运算法则、二次根式的加减与乘法运算。
A选项：考察幂的加法运算，但幂之间不能直接相加，即$x^{3} + x^{2}$ 不能简化为 $x^{6}$，所以A选项错误。
B选项：考察幂的乘法运算，根据幂的乘法法则，$m^{2} \cdot m^{3} = m^{2+3} = m^{5}$，与选项B给出的 $m^{6}$ 不符，所以B选项错误。
C选项：考察二次根式的减法运算，$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$，与选项C给出的3不符，所以C选项错误。
D选项：考察二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法法则，$\sqrt{14} × \sqrt{7} = \sqrt{14 × 7} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$，与选项D给出的 $7\sqrt{2}$ 符合，所以D选项正确。
【答案】：
D

2. 下列二次根式中,不能与$\sqrt {2}$合并的是 (C)
A.$\sqrt {\frac {1}{2}}$；
B.$\sqrt {8}$；
C.$\sqrt {12}$；
D.$\sqrt {18}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次根式的化简以及同类二次根式的判断。
首先，我们需要将各个选项中的二次根式化为最简形式，然后判断它们是否能与$\sqrt{2}$合并。
A选项：$\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，可以与$\sqrt{2}$合并，故A选项错误；
B选项：$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$，可以与$\sqrt{2}$合并，故B选项错误；
C选项：$\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$，由于$\sqrt{3}$与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，因此不能与$\sqrt{2}$合并，故C选项正确；
D选项：$\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2}$，可以与$\sqrt{2}$合并，故D选项错误。
【答案】：
C

3. 已知二次根式:$\sqrt {12}$、$\frac {\sqrt {a}}{3}$、$-\frac {1}{2}\sqrt {a^{2}b}$、$\sqrt {\frac {1}{4}a}$、$\sqrt {m^{2}n}$、$\sqrt {x^{2}+y^{2}}$,其中是最简二次根式的有 (A)
A.2个；
B.3个；
C.1个；
D.4个.

答案： 【解析】：
本题主要考查最简二次根式的定义。
最简二次根式需要满足两个条件：
1. 被开方数的因数是整数，并且因式是整式；
2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
根据这两个条件，我们可以逐一判断给出的二次根式是否是最简二次根式：
1. $\sqrt{12}$ 可以化简为 $2\sqrt{3}$，因为12含有能开得尽方的因数4，所以不是最简二次根式；
2. $\frac{\sqrt{a}}{3}$ 的被开方数是a，且没有能开得尽方的因数或因式，所以是最简二次根式；
3. $-\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}b}$ 可以化简为 $-\frac{1}{2}a\sqrt{b}$（当 $a \geq 0$）或 $\frac{1}{2}a\sqrt{b}$（当 $a ＜ 0$），
因为 $a^{2}$ 是能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式；
4. $\sqrt{\frac{1}{4}a}$ 可以化简为 $\frac{1}{2}\sqrt{a}$，因为被开方数含有分母，所以不是最简二次根式；
5. $\sqrt{m^{2}n}$ 可以化简为 $|m|\sqrt{n}$，因为 $m^{2}$ 是能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式；
6. $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 的被开方数是 $x^{2}+y^{2}$，且没有能开得尽方的因数或因式，所以是最简二次根式。
综上，最简二次根式有 $\frac{\sqrt{a}}{3}$ 和 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 共2个。
【答案】：
A.2个。

4. 与$\sqrt {a^{3}b}$不是同类二次根式的是 (A)
A.$\sqrt {\frac {ab}{2}}$；
B.$\sqrt {\frac {b}{a}}$；
C.$\frac {1}{\sqrt {ab}}$；
D.$\sqrt {\frac {b}{a^{3}}}$.

答案： 【解析】：
首先，我们需要将给定的根式$\sqrt {a^{3}b}$化为最简形式。
$\sqrt {a^{3}b} = \sqrt {a^{2} \cdot a \cdot b} = a\sqrt {ab}$
接下来，我们将选项中的根式也化为最简形式，并与$a\sqrt {ab}$进行比较。
A. $\sqrt {\frac {ab}{2}}$
这个根式已经是最简形式，与$a\sqrt {ab}$不是同类二次根式，因为它们的被开方数不同。但我们需要继续检查其他选项，以确定哪一个与$a\sqrt {ab}$最不是同类二次根式。
B. $\sqrt {\frac {b}{a}}$
可以化简为：
$\sqrt {\frac {b}{a}} = \frac{\sqrt {b}}{\sqrt {a}} = \frac{\sqrt {ab}}{a}$
与$a\sqrt {ab}$是同类二次根式，因为它们的被开方数都是$ab$。
C. $\frac {1}{\sqrt {ab}}$
可以化简为：
$\frac {1}{\sqrt {ab}} = \frac{1}{ \sqrt {ab}}=\frac{\sqrt {ab}}{ab}$
与$a\sqrt {ab}$是同类二次根式，因为它们的被开方数都是$ab$。
D. $\sqrt {\frac {b}{a^{3}}}$
可以化简为：
$\sqrt {\frac {b}{a^{3}}} = \frac{\sqrt {b}}{\sqrt {a^{3}}} = \frac{\sqrt {b}}{a\sqrt {a}} = \frac{\sqrt {ab}}{a^{2}}$
与$a\sqrt {ab}$是同类二次根式，因为它们的被开方数都是$ab$。
通过比较，我们可以发现选项A的$\sqrt {\frac {ab}{2}}$与$a\sqrt {ab}$的被开方数虽然都含有$ab$，但A选项还有一个额外的常数2在分母中，这使得它与$a\sqrt {ab}$在形式上最为不同，且题目要求选出不是同类二次根式的选项，同类二次根式需要满足最简形式相同或相差一个整数倍，A选项并不满足。而其他选项都可以通过化简得到与$a\sqrt {ab}$相同或相差一个整数倍的形式。
【答案】：
A

5. 已知$1≤a≤2$,则$\sqrt {a^{2}-4a+4}+|a-1|$的值为 (A)
A.1；
B.-1；
C.$2a-3$；
D.$3-2a$.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次根式的化简和绝对值的性质。
首先，我们将给定的表达式进行化简：
$\sqrt{a^{2} - 4a + 4} + |a - 1| = \sqrt{(a - 2)^{2}} + |a - 1| = |a - 2| + |a - 1|$，
由于题目给出$1 \leq a \leq 2$，
在这个范围内，$a - 2 \leq 0$，$a - 1 \geq 0$，
所以，$|a - 2| = 2 - a$，$|a - 1| = a - 1$，
将这两个结果代入化简后的表达式，得到：
$|a - 2| + |a - 1| = (2 - a) + (a - 1) = 1$。
【答案】：A

6. 已知$x= 2-\sqrt {10}$,则代数式$x^{2}-4x-6$的值为 (B)
A.-1；
B.0；
C.1；
D.2.

答案： 【解析】：
本题主要考察代数式的化简与求值。
首先，我们将代数式$x^{2} - 4x - 6$进行配方，
得到：$x^{2} - 4x - 6 = (x - 2)^{2} - 10$，
然后，将$x = 2 - \sqrt{10}$代入$(x - 2)^{2} - 10$，
得到：$(2 - \sqrt{10} - 2)^{2} - 10$
$= (-\sqrt{10})^{2} - 10$
$= 10 - 10$
$= 0$
【答案】：
B. $0$。

7. 计算:$3÷\sqrt {6}= $$\frac{\sqrt{6}}{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查二次根式的除法运算。为了消除分母中的根号，我们可以通过分子分母同时乘以分母的共轭式来实现。
首先，将原式写为分数形式：
$3 ÷ \sqrt{6} = \frac{3}{\sqrt{6}}$
为了消除分母中的根号，我们将分子分母同时乘以$\sqrt{6}$：
$\frac{3}{\sqrt{6}} × \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6}$
然后，我们可以简化这个表达式，将分子和分母都除以3，得到：
$\frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$
【答案】：
$\frac{\sqrt{6}}{2}$

8. 比较大小:
(1)$-3\sqrt {2}$＜$-2\sqrt {3}$；
(2)$\sqrt {8}-\sqrt {7}$＜$\sqrt {7}-\sqrt {6}$.

答案：
(1)解：比较$3\sqrt{2}$与$2\sqrt{3}$的大小，
$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2×2} = \sqrt{18}$，$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2×3} = \sqrt{12}$，
因为$\sqrt{18} ＞ \sqrt{12}$，所以$3\sqrt{2} ＞ 2\sqrt{3}$，
则$-3\sqrt{2} ＜ -2\sqrt{3}$。
(2)解：$\sqrt{8}-\sqrt{7} = \frac{(\sqrt{8}-\sqrt{7})(\sqrt{8}+\sqrt{7})}{\sqrt{8}+\sqrt{7}} = \frac{8 - 7}{\sqrt{8}+\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}$，
$\sqrt{7}-\sqrt{6} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{7}+\sqrt{6})}{\sqrt{7}+\sqrt{6}} = \frac{7 - 6}{\sqrt{7}+\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$，
因为$\sqrt{8}+\sqrt{7} ＞ \sqrt{7}+\sqrt{6}$，所以$\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{7}} ＜ \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$，
即$\sqrt{8}-\sqrt{7} ＜ \sqrt{7}-\sqrt{6}$。
(1)＜
(2)＜

9. 如果$\sqrt {(a-\sqrt {11})^{2}}+|b-\sqrt {2}|= 0$,那么以a、b为边长的等腰三角形的周长为$2\sqrt{11} + \sqrt{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查二次根式的性质、非负数的性质以及等腰三角形的性质。
首先，由于$\sqrt {(a-\sqrt {11})^{2}}$和$|b-\sqrt {2}|$都是非负数，且它们的和为0，
根据非负数的性质“几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0”可得：
$\sqrt {(a-\sqrt {11})^{2}} = 0$，$|b-\sqrt {2}| = 0$，
进一步化简，我们得到：
$(a-\sqrt {11})^{2} = 0$，即$a = \sqrt{11}$；
$b-\sqrt {2} = 0$ 或 $b-\sqrt {2} = 0$（绝对值函数的性质），即$b = \sqrt{2}$。
接下来，我们需要判断以$a$、$b$为边长的等腰三角形是否存在，并求其周长。
当腰长为$\sqrt{11}$，底边长为$\sqrt{2}$时：
三角形的周长为$2\sqrt{11} + \sqrt{2}$。
同时，需要验证这三条边能否构成三角形。根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，即：
$\sqrt{11} + \sqrt{11} ＞ \sqrt{2}$，$\sqrt{11} + \sqrt{2} ＞ \sqrt{11}$，$\sqrt{2} + \sqrt{11} ＞ \sqrt{11}$，
这三个不等式都成立，所以能构成三角形。
当腰长为$\sqrt{2}$，底边长为$\sqrt{11}$时：
三角形的周长为$2\sqrt{2} + \sqrt{11}$。
同样，需要验证这三条边能否构成三角形。根据三角形的三边关系，有：
$\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} ＜ \sqrt{11}$，
这个不等式不成立，所以不能构成三角形。
综上所述，只有腰长为$\sqrt{11}$，底边长为$\sqrt{2}$的等腰三角形存在，其周长为$2\sqrt{11} + \sqrt{2}$。
【答案】：
$2\sqrt{11} + \sqrt{2}$。

10. 已知$xy= 1,y= \frac {1}{2-\sqrt {3}}$,则$\frac {1}{x+1}+\frac {1}{y+1}= $1.

答案： 【解析】：
本题主要考查分式的化简求值。
首先，我们需要将给定的$y$值进行分母有理化，
即：$y = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} × \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$
接着，我们将$y$的值代入到目标表达式中，
并进行化简：
$\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1}$
$= \frac{y + 1 + x + 1}{(x + 1)(y + 1)}$
$= \frac{x + y + 2}{xy + x + y + 1}$
由于已知$xy = 1$，
我们可以将这个值代入上面的表达式中，
得到：$\frac{x + y + 2}{1 + x + y + 1}$
$= \frac{x + y + 2}{x + y + 2}$
$= 1$
【答案】：
1

11. 已知矩形的长为$2\sqrt {5}cm$,宽为$\sqrt {10}cm$,则面积为______$cm^{2}$.
$10\sqrt{2}$

答案： 【解析】：
本题主要考查矩形面积的计算，矩形面积的计算公式是长乘以宽。题目给出了矩形的长和宽，分别是以根号形式表示的无理数。我们需要利用矩形面积公式和二次根式的乘法法则来求解。
【答案】：
解：矩形的面积 $S$ 可以用公式 $S = \text{长} × \text{宽}$ 来计算。
根据题目，矩形的长为 $2\sqrt{5}cm$，宽为 $\sqrt{10}cm$。
所以，面积 $S = 2\sqrt{5} × \sqrt{10}$。
根据二次根式的乘法法则，$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{a × b}$，我们有：
$S = 2\sqrt{5 × 10} = 2\sqrt{50} = 2 × 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2} cm^{2}$
故答案为：$10\sqrt{2} cm^{2}$。

12. 使$\frac {\sqrt {x}}{2x-1}$有意义的x的取值范围是$x \geqslant 0$ 且 $x \neq \frac{1}{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件。
首先，考虑二次根式$\sqrt{x}$有意义的条件，即被开方数$x$应当非负，所以有：
$x \geqslant 0$
其次，考虑分式$\frac{\sqrt{x}}{2x-1}$有意义的条件，即分母$2x-1$不能为0，所以有：
$2x - 1 \neq 0$
解得：
$x \neq \frac{1}{2}$
综合以上两个条件，得到$x$的取值范围为：
$x \geqslant 0$ 且 $x \neq \frac{1}{2}$
【答案】：
$x \in [0, +\infty) 且 x \neq \frac{1}{2}$

13. 已知$\sqrt {x-1}+\sqrt {1-x}= y+4$,则$x^{y}$的平方根为$\pm 1$.

答案： 【解析】：
本题主要考查二次根式有意义的条件、平方根的定义。
因为二次根式下的表达式必须非负，所以有：
$x - 1 \geq 0$，
$1 - x \geq 0$，
解以上不等式组，可以得到：
$x \geq 1$，
$x \leq 1$，
综合以上两个不等式，可以得到$x = 1$，
将$x = 1$代入原方程$\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}= y+4$，可以得到：
$0 + 0 = y + 4$，
即$y = -4$，
根据平方根的定义，可以求出$x^y$的平方根：
$x^y = 1^{-4} = 1$（任何非零数的0次方都为1，而1的任何次方也都为1），
所以，$x^y$的平方根为$\pm 1$。
【答案】：
$\pm 1$。

14. 定义“@”的运算法则为:$x@y= \sqrt {xy+4}$,则$(2@6)@6= $$2\sqrt{7}$.

答案： 【解析】：
本题考查的是新定义运算，同时也考查了二次根式的化简。
首先，我们需要理解题目中给出的新定义运算规则，即$x@y = \sqrt{xy + 4}$。
然后，我们根据这个规则，先计算出$2@6$的值。
将$x=2$，$y=6$代入公式，得到：
$2@6 = \sqrt{2 × 6 + 4} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$
得到$2@6 = 4$后，我们再将其与6进行@运算，即计算$(2@6)@6$，也就是$4@6$。
同样地，将$x=4$，$y=6$代入公式，得到：
$4@6 = \sqrt{4 × 6 + 4} = \sqrt{24 + 4} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$
所以，$(2@6)@6 = 2\sqrt{7}$。
【答案】：
$2\sqrt{7}$。