《2025年中学生世界八年级数学上册沪教版五四制》

12. 用适当的方法解下列方程:
(1)$x^{2}-6x-315= 0$； (2)$x^{2}-(\sqrt {3}+\sqrt {2})x+\sqrt {6}= 0$；
(3)$x^{2}-2mx-4n^{2}+m^{2}= 0$(m、n为常数).

答案： 【解析】：
对于这三个一元二次方程，我们将分别采用不同的解法。第一个方程由于常数项较大，不易直接因式分解，故考虑使用配方法。第二个方程具有特殊的常数项，形如两平方根之积，适合直接因式分解。第三个方程含有参数，我们通过判别式法找到其解。
(1) 对于方程 $x^{2} - 6x - 315 = 0$，我们采用配方法。首先，将常数项移到等式的另一边，得到 $x^{2} - 6x = 315$。接着，为完成配方，我们在等式两边同时加9，得到 $x^{2} - 6x + 9 = 315 + 9$，即 $(x - 3)^{2} = 324$。开方后得到 $x - 3 = \pm 18$，从而解得 $x_{1} = 21$，$x_{2} = -15$。
(2) 对于方程 $x^{2} - (\sqrt{3} + \sqrt{2})x + \sqrt{6} = 0$，我们采用直接因式分解法。观察方程，可以发现它具有形如 $(x - a)(x - b) = 0$ 的结构，其中 $a = \sqrt{3}$，$b = \sqrt{2}$。因此，方程可以写为 $(x - \sqrt{3})(x - \sqrt{2}) = 0$，从而解得 $x_{1} = \sqrt{3}$，$x_{2} = \sqrt{2}$。
(3) 对于方程 $x^{2} - 2mx - 4n^{2} + m^{2} = 0$，我们采用判别式法。首先，计算判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = ( - 2m)^{2} - 4 × 1 × ( - 4n^{2} + m^{2}) = 16n^{2}$。由于 $\Delta \geq 0$，方程有实数解。使用求根公式，得到 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2m \pm 4n}{2} = m \pm 2n$，从而解得 $x_{1} = m + 2n$，$x_{2} = m - 2n$。
【答案】：
(1) $x_{1} = 21$，$x_{2} = - 15$
(2) $x_{1} = \sqrt{3}$，$x_{2} = \sqrt{2}$
(3) $x_{1} = m + 2n$，$x_{2} = m - 2n$

13. 用配方法说明:不论x为何值,代数式$x^{2}-4x+5$的值总是大于0.

答案： 【解析】：
本题主要考查了配方法的应用以及非负数的性质。
首先，我们将代数式$x^{2}-4x+5$进行配方处理。
配方的一般步骤是先将常数项移到等式的另一边，然后将二次项和一次项组合成一个完全平方项。
具体到这个问题，我们可以这样操作：
提取二次项和一次项：$x^{2}-4x$，
为了使其成为一个完全平方，我们需要加上和减去$(\frac{4}{2})^{2} = 4$，
所以，$x^{2}-4x+5 = x^{2}-4x+4-4+5 = (x-2)^{2}+1$，
接下来，我们利用非负数的性质。
由于$(x-2)^{2}$是一个平方项，其值总是非负的，即$(x-2)^{2} \geq 0$，
因此，$(x-2)^{2}+1$的值总是大于0，即$(x-2)^{2}+1 ＞ 0$。
【答案】：
证明：$x^{2}-4x+5 = x^{2}-4x+4-4+5 = (x-2)^{2}+1$，
∵$(x-2)^{2} \geq 0$，
∴$(x-2)^{2}+1 ＞ 0$，
即不论$x$为何值，代数式$x^{2}-4x+5$的值总是大于0。