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1. 下列说法正确的是 (
A.$x^{2}-1的根为x= 1;$
B.$x= \sqrt {3}是x^{2}= 3$的根;
C.方程$y^{2}+\frac {1}{4}= 0的根为y= \pm \frac {1}{2};$
D.$x^{2}= -a$没有实数根.
B
)A.$x^{2}-1的根为x= 1;$
B.$x= \sqrt {3}是x^{2}= 3$的根;
C.方程$y^{2}+\frac {1}{4}= 0的根为y= \pm \frac {1}{2};$
D.$x^{2}= -a$没有实数根.
答案：
【解析】：
本题主要考察一元二次方程的解法以及方程的根的定义。
对于选项A，方程 $x^{2} - 1 = 0$ 可以通过因式分解或者使用求根公式求解。
因式分解得： $(x-1)(x+1) = 0$，
解得 $x = 1$ 或 $x = -1$。
因此，A选项只给出了一个根，忽略了 $x = -1$，所以A选项错误。
对于选项B，方程 $x^{2} = 3$ 可以直接开方求解，
得到 $x = \pm \sqrt{3}$。
B选项给出了 $x = \sqrt{3}$，这是方程的一个根，所以B选项正确。
对于选项C，方程 $y^{2} + \frac{1}{4} = 0$ 移项得 $y^{2} = -\frac{1}{4}$。
由于平方数不能为负数，这个方程在实数范围内没有解。
因此，C选项错误。
对于选项D，方程 $x^{2} = -a$ 的解取决于 $a$ 的值。
当 $a \leq 0$ 时，方程有实数解（当$a=0$时，解为$x=0$；
当$a＜0$时，解为$x=\pm\sqrt{-a}$）。
因此，D选项中的说法“没有实数根”是不准确的，D选项错误。
【答案】：B
本题主要考察一元二次方程的解法以及方程的根的定义。
对于选项A，方程 $x^{2} - 1 = 0$ 可以通过因式分解或者使用求根公式求解。
因式分解得： $(x-1)(x+1) = 0$，
解得 $x = 1$ 或 $x = -1$。
因此，A选项只给出了一个根，忽略了 $x = -1$，所以A选项错误。
对于选项B，方程 $x^{2} = 3$ 可以直接开方求解，
得到 $x = \pm \sqrt{3}$。
B选项给出了 $x = \sqrt{3}$，这是方程的一个根，所以B选项正确。
对于选项C，方程 $y^{2} + \frac{1}{4} = 0$ 移项得 $y^{2} = -\frac{1}{4}$。
由于平方数不能为负数，这个方程在实数范围内没有解。
因此，C选项错误。
对于选项D，方程 $x^{2} = -a$ 的解取决于 $a$ 的值。
当 $a \leq 0$ 时，方程有实数解（当$a=0$时，解为$x=0$；
当$a＜0$时，解为$x=\pm\sqrt{-a}$）。
因此，D选项中的说法“没有实数根”是不准确的，D选项错误。
【答案】：B
2. 方程$2x^{2}= 1$的根为 (
A.$x_{1}= \frac {1}{2},x_{2}= -\frac {1}{2};$
B.$x_{1}= \frac {\sqrt {2}}{2},x_{2}= -\frac {\sqrt {2}}{2};$
C.$x= \frac {1}{2};$
D.$x= \sqrt {2}.$
B
)A.$x_{1}= \frac {1}{2},x_{2}= -\frac {1}{2};$
B.$x_{1}= \frac {\sqrt {2}}{2},x_{2}= -\frac {\sqrt {2}}{2};$
C.$x= \frac {1}{2};$
D.$x= \sqrt {2}.$
答案：
【解析】：
本题考查了一元二次方程的解法，特别是直接开平方法。
首先，将方程 $2x^{2} = 1$ 化为 $x^{2} = \frac{1}{2}$ 的形式。
然后，对方程两边同时开平方，得到 $x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$。
化简后，得到 $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】：
B. $x_{1}= \frac {\sqrt {2}}{2},x_{2}= -\frac {\sqrt {2}}{2}$。
本题考查了一元二次方程的解法，特别是直接开平方法。
首先，将方程 $2x^{2} = 1$ 化为 $x^{2} = \frac{1}{2}$ 的形式。
然后，对方程两边同时开平方，得到 $x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$。
化简后，得到 $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】：
B. $x_{1}= \frac {\sqrt {2}}{2},x_{2}= -\frac {\sqrt {2}}{2}$。
3. 下列方程能用求平方根的方法解的是 (
A.$(x+3)^{2}+4= 0;$
B.$x^{2}+1= 0;$
C.$x^{2}= 8;$
D.$(x+\sqrt {2})(x-\sqrt {2})+5= 0.$
C
)A.$(x+3)^{2}+4= 0;$
B.$x^{2}+1= 0;$
C.$x^{2}= 8;$
D.$(x+\sqrt {2})(x-\sqrt {2})+5= 0.$
答案：
【解析】：
本题主要考察一元二次方程的解法，特别是平方根的方法。
对于选项A：$(x+3)^{2}+4= 0$，
移项得：$(x+3)^{2} = -4$，
由于平方数不能为负数，所以该方程无实数解，不能用求平方根的方法解。
对于选项B：$x^{2}+1= 0$，
移项得：$x^{2} = -1$，
同样，由于平方数不能为负数，所以该方程无实数解，不能用求平方根的方法解。
对于选项C：$x^{2}= 8$，
直接应用平方根的定义，得到：$x = \pm \sqrt{8}$，
化简得：$x = \pm 2\sqrt{2}$，
该方程可以用求平方根的方法解。
对于选项D：$(x+\sqrt {2})(x-\sqrt {2})+5= 0$，
展开并整理得：$x^{2} - 2 + 5 = 0$，
即：$x^{2} = -3$，
由于平方数不能为负数，所以该方程无实数解，不能用求平方根的方法解。
综上所述，只有选项C的方程可以用求平方根的方法解。
【答案】：
C。
本题主要考察一元二次方程的解法，特别是平方根的方法。
对于选项A：$(x+3)^{2}+4= 0$，
移项得：$(x+3)^{2} = -4$，
由于平方数不能为负数，所以该方程无实数解，不能用求平方根的方法解。
对于选项B：$x^{2}+1= 0$，
移项得：$x^{2} = -1$，
同样，由于平方数不能为负数，所以该方程无实数解，不能用求平方根的方法解。
对于选项C：$x^{2}= 8$，
直接应用平方根的定义，得到：$x = \pm \sqrt{8}$，
化简得：$x = \pm 2\sqrt{2}$，
该方程可以用求平方根的方法解。
对于选项D：$(x+\sqrt {2})(x-\sqrt {2})+5= 0$，
展开并整理得：$x^{2} - 2 + 5 = 0$，
即：$x^{2} = -3$，
由于平方数不能为负数，所以该方程无实数解，不能用求平方根的方法解。
综上所述，只有选项C的方程可以用求平方根的方法解。
【答案】：
C。
4. 方程$x^{2}+c= 0$的根是 (
A.$\pm \sqrt {-c}$；
B.0；
C.无解；
D.$\pm \sqrt {-c}$或无解.
D
)A.$\pm \sqrt {-c}$；
B.0；
C.无解；
D.$\pm \sqrt {-c}$或无解.
答案：
【解析】：
本题主要考查一元二次方程的解法，特别是当方程形式为$x^{2}+c=0$时，如何求解$x$的值。
首先，我们将方程$x^{2}+c=0$移项，得到$x^{2}=-c$。
接下来，我们根据$c$的取值范围，分别讨论方程的解的情况：
当$c＜0$时，$-c＞0$，所以方程$x^{2}=-c$有两个实数解，分别为$x=\pm\sqrt{-c}$。
当$c=0$时，方程变为$x^{2}=0$，此时方程有一个重根$x=0$，但题目选项并未直接给出这一解，而是包含在“$\pm \sqrt {-c}$”的形式中（当$c=0$时，$\sqrt {-c}=0$）。
当$c＞0$时，$-c＜0$，由于平方数不能为负数，所以方程$x^{2}=-c$无实数解。
综合以上三种情况，我们可以得出方程的解为$\pm \sqrt {-c}$或无解，取决于$c$的取值。
【答案】：
D.$\pm \sqrt {-c}$或无解。
本题主要考查一元二次方程的解法，特别是当方程形式为$x^{2}+c=0$时，如何求解$x$的值。
首先，我们将方程$x^{2}+c=0$移项，得到$x^{2}=-c$。
接下来，我们根据$c$的取值范围，分别讨论方程的解的情况：
当$c＜0$时，$-c＞0$，所以方程$x^{2}=-c$有两个实数解，分别为$x=\pm\sqrt{-c}$。
当$c=0$时，方程变为$x^{2}=0$，此时方程有一个重根$x=0$，但题目选项并未直接给出这一解，而是包含在“$\pm \sqrt {-c}$”的形式中（当$c=0$时，$\sqrt {-c}=0$）。
当$c＞0$时，$-c＜0$，由于平方数不能为负数，所以方程$x^{2}=-c$无实数解。
综合以上三种情况，我们可以得出方程的解为$\pm \sqrt {-c}$或无解，取决于$c$的取值。
【答案】：
D.$\pm \sqrt {-c}$或无解。
5. 方程$(x-1)^{2}= 4$的根为 (
A.$x_{1}= 2,x_{2}= -2;$
B.$x_{1}= 3,x_{2}= -1;$
C.$x_{1}= -3,x_{2}= 1;$
D.$x_{1}= 3,x_{2}= -3.$
B
)A.$x_{1}= 2,x_{2}= -2;$
B.$x_{1}= 3,x_{2}= -1;$
C.$x_{1}= -3,x_{2}= 1;$
D.$x_{1}= 3,x_{2}= -3.$
答案：
【解析】：
本题考查一元二次方程的解法，特别是直接开平方法。
给定方程为 $(x-1)^{2} = 4$。
根据平方根的定义，我们有：
$x - 1 = \pm 2$
这里，$\pm$ 表示正负号，即方程有两个
分别解这两个方程，我们得到：
$x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3$
$x - 1 = -2 \Rightarrow x = -1$
所以，方程的解为 $x_{1} = 3, x_{2} = -1$。
【答案】：
B. $x_{1} = 3, x_{2} = -1$。
本题考查一元二次方程的解法，特别是直接开平方法。
给定方程为 $(x-1)^{2} = 4$。
根据平方根的定义，我们有：
$x - 1 = \pm 2$
这里，$\pm$ 表示正负号，即方程有两个
分别解这两个方程，我们得到：
$x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3$
$x - 1 = -2 \Rightarrow x = -1$
所以，方程的解为 $x_{1} = 3, x_{2} = -1$。
【答案】：
B. $x_{1} = 3, x_{2} = -1$。
6. 方程$x^{2}-4= 0$的根是
$x=\pm2$
.
答案：
【解析】：
本题考查了一元二次方程的解法，特别是直接开平方法。
对于方程$x^{2}-4=0$，我们可以将其转化为$x^{2}=4$，
根据平方根的定义，如果$a^{2}=b$，那么$a=\pm\sqrt{b}$，
所以，对于$x^{2}=4$，我们有$x=\pm\sqrt{4}$，
即$x=\pm2$。
【答案】：
$x=\pm2$。
本题考查了一元二次方程的解法，特别是直接开平方法。
对于方程$x^{2}-4=0$，我们可以将其转化为$x^{2}=4$，
根据平方根的定义，如果$a^{2}=b$，那么$a=\pm\sqrt{b}$，
所以，对于$x^{2}=4$，我们有$x=\pm\sqrt{4}$，
即$x=\pm2$。
【答案】：
$x=\pm2$。
7. 若$49x^{2}-1= 0$,则$x= $
$\pm \frac{1}{7}$
.
答案：
【解析】：
首先，我们有方程 $49x^{2} - 1 = 0$。
移项，得到 $49x^{2} = 1$。
接下来，对方程两边同时除以49，得到 $x^{2} = \frac{1}{49}$。
最后，对方程两边同时开平方，注意这里需要考虑正负根的情况，即 $x = \pm \sqrt{\frac{1}{49}} = \pm \frac{1}{7}$。
【答案】：
$x = \pm \frac{1}{7}$
首先，我们有方程 $49x^{2} - 1 = 0$。
移项，得到 $49x^{2} = 1$。
接下来，对方程两边同时除以49，得到 $x^{2} = \frac{1}{49}$。
最后，对方程两边同时开平方，注意这里需要考虑正负根的情况，即 $x = \pm \sqrt{\frac{1}{49}} = \pm \frac{1}{7}$。
【答案】：
$x = \pm \frac{1}{7}$
8. 方程$2(x-1)^{2}= 72$的根为
$x_{1} = 7$，$x_{2} = -5$
.
答案：
【解析】：
这是一道一元二次方程求解的题目，需要运用到平方根的性质来求解。
首先，将方程 $2(x-1)^{2} = 72$ 化简为 $(x-1)^{2} = 36$。
接着，利用平方根的性质，即如果 $a^{2} = b$，那么 $a = \pm \sqrt{b}$，来求解 $x-1$ 的值。
最后，解出 $x$ 的值。
【答案】：
由 $(x-1)^{2} = 36$，得 $x-1 = \pm 6$，
进一步解得 $x_{1} = 7$，$x_{2} = -5$。
故答案为：$x_{1} = 7$，$x_{2} = -5$。
这是一道一元二次方程求解的题目，需要运用到平方根的性质来求解。
首先，将方程 $2(x-1)^{2} = 72$ 化简为 $(x-1)^{2} = 36$。
接着，利用平方根的性质，即如果 $a^{2} = b$，那么 $a = \pm \sqrt{b}$，来求解 $x-1$ 的值。
最后，解出 $x$ 的值。
【答案】：
由 $(x-1)^{2} = 36$，得 $x-1 = \pm 6$，
进一步解得 $x_{1} = 7$，$x_{2} = -5$。
故答案为：$x_{1} = 7$，$x_{2} = -5$。
9. 一元二次方程$0.3x^{2}-2.7= 0$的根为
$x_{1} = 3$，$x_{2} = - 3$
.
答案：
【解析】：
首先，将方程 $0.3x^{2} - 2.7 = 0$ 整理为 $x^{2} = \frac{2.7}{0.3}$，
进一步计算得 $x^{2} = 9$。
接下来，利用平方根的性质，即如果 $a^{2} = b$，那么 $a = \pm \sqrt{b}$，
应用到当前方程，得到 $x = \pm \sqrt{9}$，
进一步计算得 $x = \pm 3$。
【答案】：
$x_{1} = 3$，$x_{2} = - 3$。
首先，将方程 $0.3x^{2} - 2.7 = 0$ 整理为 $x^{2} = \frac{2.7}{0.3}$，
进一步计算得 $x^{2} = 9$。
接下来，利用平方根的性质，即如果 $a^{2} = b$，那么 $a = \pm \sqrt{b}$，
应用到当前方程，得到 $x = \pm \sqrt{9}$，
进一步计算得 $x = \pm 3$。
【答案】：
$x_{1} = 3$，$x_{2} = - 3$。
10. 若方程$(x-a)^{2}= b$有实数根,则$b$的取值范围为
$b \geq 0$
.
答案：
【解析】：
本题考查了一元二次方程的判别式以及平方数的性质。
对于方程$(x-a)^{2}= b$，可以将其看作是一个完全平方等于一个常数的形式，
为了确定方程有实数根，需要确保常数$b$满足一定的条件。
由于平方数总是非负的，即对于任意实数$x$，都有$x^{2} \geq 0$，
所以，对于方程$(x-a)^{2}= b$来说，为了保证其有实数根，必须有$b \geq 0$，
当$b \geq 0$时，方程有实数根，因为此时方程的左侧是一个平方项，其值总是非负的，可以等于右侧的$b$。
【答案】：
$b \geq 0$。
本题考查了一元二次方程的判别式以及平方数的性质。
对于方程$(x-a)^{2}= b$，可以将其看作是一个完全平方等于一个常数的形式，
为了确定方程有实数根，需要确保常数$b$满足一定的条件。
由于平方数总是非负的，即对于任意实数$x$，都有$x^{2} \geq 0$，
所以，对于方程$(x-a)^{2}= b$来说，为了保证其有实数根，必须有$b \geq 0$，
当$b \geq 0$时，方程有实数根，因为此时方程的左侧是一个平方项，其值总是非负的，可以等于右侧的$b$。
【答案】：
$b \geq 0$。
11. 解下列方程:
(1)$x^{2}-36= 0;$ (2)$4x^{2}-9= 0;$
(3)$(x+\frac {1}{4})^{2}-25= 0;$ (4)$25(1-x)^{2}= 16;$
(5)$(x-3)^{2}= 121;$ (6)$4(x-2)^{2}-36= 0;$
(7)$(x+\sqrt {3})(x-\sqrt {3})= 6;$ (8)$4(x+1)^{2}= 9(x-2)^{2}.$
(1)$x^{2}-36= 0;$ (2)$4x^{2}-9= 0;$
(3)$(x+\frac {1}{4})^{2}-25= 0;$ (4)$25(1-x)^{2}= 16;$
(5)$(x-3)^{2}= 121;$ (6)$4(x-2)^{2}-36= 0;$
(7)$(x+\sqrt {3})(x-\sqrt {3})= 6;$ (8)$4(x+1)^{2}= 9(x-2)^{2}.$
答案：
【解析】：
本题主要考查一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法等。
对于形如$x^2 = a$的方程，可以直接开平方求解；
对于形如$(x+b)^2 = c$的方程，可以先移项，再开平方求解；
对于形如$ax^2 + bx + c = 0$的方程，如果可以直接因式分解，那么因式分解后求解。
【答案】：
(1)
解：$x^2 - 36 = 0$
$x^2 = 36$
$x = \pm 6$
(2)
解：$4x^2 - 9 = 0$
$4x^2 = 9$
$x^2 = \frac{9}{4}$
$x = \pm \frac{3}{2}$
(3)
解：$(x + \frac{1}{4})^2 - 25 = 0$
$(x + \frac{1}{4})^2 = 25$
$x + \frac{1}{4} = \pm 5$
$x = 5 - \frac{1}{4} = \frac{19}{4}$ 或 $x = -5 - \frac{1}{4} = -\frac{21}{4}$
(4)
解：$25(1 - x)^2 = 16$
$(1 - x)^2 = \frac{16}{25}$
$1 - x = \pm \frac{4}{5}$
$x = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ 或 $x = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}$
(5)
解：$(x - 3)^2 = 121$
$x - 3 = \pm 11$
$x = 11 + 3 = 14$ 或 $x = -11 + 3 = -8$
(6)
解：$4(x - 2)^2 - 36 = 0$
$4(x - 2)^2 = 36$
$(x - 2)^2 = 9$
$x - 2 = \pm 3$
$x = 3 + 2 = 5$ 或 $x = -3 + 2 = -1$
(7)
解：$(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) = 6$
$x^2 - 3 = 6$
$x^2 = 9$
$x = \pm 3$
(8)
解：$4(x + 1)^2 = 9(x - 2)^2$
$4(x^2 + 2x + 1) = 9(x^2 - 4x + 4)$
$4x^2 + 8x + 4 = 9x^2 - 36x + 36$
$5x^2 - 44x + 32 = 0$
$(5x - 4)(x - 8) = 0$
$x = \frac{4}{5}$ 或 $x = 8$
本题主要考查一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法等。
对于形如$x^2 = a$的方程，可以直接开平方求解；
对于形如$(x+b)^2 = c$的方程，可以先移项，再开平方求解；
对于形如$ax^2 + bx + c = 0$的方程，如果可以直接因式分解，那么因式分解后求解。
【答案】：
(1)
解：$x^2 - 36 = 0$
$x^2 = 36$
$x = \pm 6$
(2)
解：$4x^2 - 9 = 0$
$4x^2 = 9$
$x^2 = \frac{9}{4}$
$x = \pm \frac{3}{2}$
(3)
解：$(x + \frac{1}{4})^2 - 25 = 0$
$(x + \frac{1}{4})^2 = 25$
$x + \frac{1}{4} = \pm 5$
$x = 5 - \frac{1}{4} = \frac{19}{4}$ 或 $x = -5 - \frac{1}{4} = -\frac{21}{4}$
(4)
解：$25(1 - x)^2 = 16$
$(1 - x)^2 = \frac{16}{25}$
$1 - x = \pm \frac{4}{5}$
$x = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ 或 $x = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}$
(5)
解：$(x - 3)^2 = 121$
$x - 3 = \pm 11$
$x = 11 + 3 = 14$ 或 $x = -11 + 3 = -8$
(6)
解：$4(x - 2)^2 - 36 = 0$
$4(x - 2)^2 = 36$
$(x - 2)^2 = 9$
$x - 2 = \pm 3$
$x = 3 + 2 = 5$ 或 $x = -3 + 2 = -1$
(7)
解：$(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) = 6$
$x^2 - 3 = 6$
$x^2 = 9$
$x = \pm 3$
(8)
解：$4(x + 1)^2 = 9(x - 2)^2$
$4(x^2 + 2x + 1) = 9(x^2 - 4x + 4)$
$4x^2 + 8x + 4 = 9x^2 - 36x + 36$
$5x^2 - 44x + 32 = 0$
$(5x - 4)(x - 8) = 0$
$x = \frac{4}{5}$ 或 $x = 8$
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