《2025年中学生世界八年级数学上册沪教版五四制》

1. 解方程组：$\left\{\begin{array}{l} \sqrt {3}x-\sqrt {2}y= \sqrt {2},\\ x-\sqrt {6}y= 1.\end{array} \right. $

答案： 【解析】：
本题是一个二元一次方程组问题，需要用到消元法或者代入法来求解。
首先，我们可以从第二个方程中解出$x$：$x = 1 + \sqrt{6}y$。
然后，将$x$的表达式代入第一个方程中，得到一个关于$y$的一元方程。
解这个一元方程，得到$y$的值。
最后，将$y$的值代回$x$的表达式，得到$x$的值。
【答案】：
从第二个方程中解出$x$：
$x = 1 + \sqrt{6}y$，
将$x$的表达式代入第一个方程：
$\sqrt{3}(1 + \sqrt{6}y) - \sqrt{2}y = \sqrt{2}$，
展开并整理得：
$\sqrt{3} + 3\sqrt{2}y - \sqrt{2}y = \sqrt{2}$，
$2\sqrt{2}y = \sqrt{2} - \sqrt{3}$，
$y = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$，
$y= \frac{2 - \sqrt{6}}{4}$，
将$y$的值代回$x$的表达式：
$x = 1 + \sqrt{6} × \frac{2 - \sqrt{6}}{4}$，
$x = 1 + \frac{2\sqrt{6} - 6}{4}$，
$x= \frac{2\sqrt{6} - 2}{4}$，
$x = \frac{\sqrt{6} - 1}{2}$，
所以，方程组的解为：
$\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\sqrt{6} - 1}{2}, \\y = \frac{2 - \sqrt{6}}{4}. \end{array} \right.$

2. 观察下列等式：
①$\frac {1}{\sqrt {2}+1}= \frac {\sqrt {2}-1}{(\sqrt {2}+1)(\sqrt {2}-1)}= \sqrt {2}-1;$
②$\frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {2}}= \frac {\sqrt {3}-\sqrt {2}}{(\sqrt {3}+\sqrt {2})(\sqrt {3}-\sqrt {2})}= \sqrt {3}-\sqrt {2};$
③$\frac {1}{\sqrt {4}+\sqrt {3}}= \frac {\sqrt {4}-\sqrt {3}}{(\sqrt {4}+\sqrt {3})(\sqrt {4}-\sqrt {3})}= \sqrt {4}-\sqrt {3};$
……
回答下列问题：
(1)利用你观察到的规律,化简：$\frac {1}{2\sqrt {3}+\sqrt {11}};$
(2)计算：$\frac {1}{1+\sqrt {2}}+\frac {1}{\sqrt {2}+\sqrt {3}}+\frac {1}{\sqrt {3}+2}+... +\frac {1}{3+\sqrt {10}}.$

答案： 【解析】：
(1) 对于给定的式子 $\frac {1}{2\sqrt {3}+\sqrt {11}}$，为了化简它，我们可以采用有理化分母的方法。即，与其共轭式相乘：
$\frac {1}{2\sqrt {3}+\sqrt {11}} = \frac {2\sqrt {3} - \sqrt {11}}{(2\sqrt {3} + \sqrt {11})(2\sqrt {3} - \sqrt {11})}$
由于 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$，所以
$\frac {2\sqrt {3} - \sqrt {11}}{(2\sqrt {3} + \sqrt {11})(2\sqrt {3} - \sqrt {11})} = \frac {2\sqrt {3} - \sqrt {11}}{12 - 11} = 2\sqrt {3} - \sqrt {11}$
(2) 对于序列和的问题，我们可以先对每一项进行分母有理化：
$\frac {1}{1+\sqrt {2}} = \sqrt {2} - 1$
$\frac {1}{\sqrt {2}+\sqrt {3}} = \sqrt {3} - \sqrt {2}$
$\frac {1}{\sqrt {3}+2} = 2 - \sqrt {3}$
...
$\frac {1}{3+\sqrt {10}} = \sqrt {10} - 3$
将上述各项相加，我们可以观察到，从第二项开始，每一项都有一个正项和一个负项，这些项将相互抵消，留下第一个负项和最后一个正项。所以，
$\frac {1}{1+\sqrt {2}} + \frac {1}{\sqrt {2}+\sqrt {3}} + \frac {1}{\sqrt {3}+2} + ... + \frac {1}{3+\sqrt {10}} = \sqrt {10} - 1$
【答案】：
(1) $2\sqrt {3} - \sqrt {11}$
(2) $\sqrt {10} - 1$