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1. 化简$\frac { \sqrt { 8 } } { \sqrt { 2 } }$的结果是(
A.2；
B.$2 \sqrt { 2 }$；
C.$- 2 \sqrt { 2 }$；
D.$\pm 2 \sqrt { 2 }$.
A
)A.2；
B.$2 \sqrt { 2 }$；
C.$- 2 \sqrt { 2 }$；
D.$\pm 2 \sqrt { 2 }$.
答案：
【解析】：
本题主要考察二次根式的化简。
根据二次根式的除法法则，我们有：
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$
其中，$a \geq 0$，$b ＞ 0$。
应用上述法则，我们可以将原式写为：
$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}}$
进一步化简得：
$\sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$
【答案】：
A. 2。
本题主要考察二次根式的化简。
根据二次根式的除法法则，我们有：
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$
其中，$a \geq 0$，$b ＞ 0$。
应用上述法则，我们可以将原式写为：
$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}}$
进一步化简得：
$\sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$
【答案】：
A. 2。
2. 计算$3 ÷ \sqrt { 3 } × \frac { 1 } { \sqrt { 3 } }$的结果为(
A.3；
B.9；
C.1；
D.$3 \sqrt { 3 }$.
C
)A.3；
B.9；
C.1；
D.$3 \sqrt { 3 }$.
答案：
【解析】：
本题主要考查二次根式的乘除运算。
首先，我们根据二次根式的乘除法则，可以将原式拆分为两部分进行计算：
$3 ÷ \sqrt{3} = 3 × \frac{1}{\sqrt{3}} = 3 × \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$，
然后，将上一步的结果与$\frac{1}{\sqrt{3}}$相乘，得到：
$\sqrt{3} × \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$，
所以，原式的结果为1。
【答案】：
C
本题主要考查二次根式的乘除运算。
首先，我们根据二次根式的乘除法则，可以将原式拆分为两部分进行计算：
$3 ÷ \sqrt{3} = 3 × \frac{1}{\sqrt{3}} = 3 × \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$，
然后，将上一步的结果与$\frac{1}{\sqrt{3}}$相乘，得到：
$\sqrt{3} × \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$，
所以，原式的结果为1。
【答案】：
C
3. 把$a \sqrt { - \frac { 1 } { a } }$根号外的字母放入根号内,得(
A.$\sqrt { - a }$；
B.$- \sqrt { - a }$；
C.$- \sqrt { a }$；
D.$\sqrt { a }$.
B
)A.$\sqrt { - a }$；
B.$- \sqrt { - a }$；
C.$- \sqrt { a }$；
D.$\sqrt { a }$.
答案：
【解析】：
本题主要考查二次根式的性质及化简。
根据二次根式的性质，被开方数需为非负数，即$- \frac{1}{a} \geq 0$，
由此可以推断出$a ＜ 0$，
因为$a$是负数，所以我们可以将$a$表示为$-(-a)$，
接下来，我们将$a$的因子移到根号内，并进行化简：
$a\sqrt{- \frac{1}{a}} = -(-a)\sqrt{- \frac{1}{a}}$
$= -\sqrt{(-a)^2 × (-\frac{1}{a})}$
$= -\sqrt{a^2 × \frac{-1}{a}}$
$= -\sqrt{-a}$
【答案】：B. $-\sqrt{-a}$。
本题主要考查二次根式的性质及化简。
根据二次根式的性质，被开方数需为非负数，即$- \frac{1}{a} \geq 0$，
由此可以推断出$a ＜ 0$，
因为$a$是负数，所以我们可以将$a$表示为$-(-a)$，
接下来，我们将$a$的因子移到根号内，并进行化简：
$a\sqrt{- \frac{1}{a}} = -(-a)\sqrt{- \frac{1}{a}}$
$= -\sqrt{(-a)^2 × (-\frac{1}{a})}$
$= -\sqrt{a^2 × \frac{-1}{a}}$
$= -\sqrt{-a}$
【答案】：B. $-\sqrt{-a}$。
4. 下列各式成立的是(
A.$\sqrt { a } \cdot \sqrt { b } = \sqrt { a b }$；
B.$\sqrt { a b } = \sqrt { a } \cdot \sqrt { b }$；
C.$\sqrt { \frac { a } { b } } = \frac { \sqrt { a } } { \sqrt { b } }$；
D.$\sqrt { \frac { a } { b } } = \sqrt { \frac { b } { a } }$.
A
)A.$\sqrt { a } \cdot \sqrt { b } = \sqrt { a b }$；
B.$\sqrt { a b } = \sqrt { a } \cdot \sqrt { b }$；
C.$\sqrt { \frac { a } { b } } = \frac { \sqrt { a } } { \sqrt { b } }$；
D.$\sqrt { \frac { a } { b } } = \sqrt { \frac { b } { a } }$.
答案：
解：A选项，当$a\geq0$，$b\geq0$时，$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立，该选项未明确$a$、$b$的取值范围，但在二次根式有意义的前提下，此运算规则正确。
B选项，当$a$、$b$异号时，$\sqrt{ab}$无意义，$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$也无意义，故该选项不恒成立。
C选项，当$a\geq0$，$b＞0$时，$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立，若$a＜0$或$b\leq0$，则式子无意义，故该选项不恒成立。
D选项，$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{|b|}$，$\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt{ab}}{|a|}$，只有当$|a|=|b|$时才可能相等，一般情况下不成立。
综上，正确的是A选项。
答案：A
B选项，当$a$、$b$异号时，$\sqrt{ab}$无意义，$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$也无意义，故该选项不恒成立。
C选项，当$a\geq0$，$b＞0$时，$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立，若$a＜0$或$b\leq0$，则式子无意义，故该选项不恒成立。
D选项，$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{|b|}$，$\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt{ab}}{|a|}$，只有当$|a|=|b|$时才可能相等，一般情况下不成立。
综上，正确的是A选项。
答案：A
5. 计算：$\sqrt { 7 } × \sqrt { 14 } = $
$7\sqrt{2}$
；$2 \sqrt { 5 } × 3 \sqrt { 15 } = $$30\sqrt{3}$
.
答案：
解：$\sqrt{7} × \sqrt{14} = \sqrt{7 × 14} = \sqrt{98} = \sqrt{49 × 2} = 7\sqrt{2}$；
$2\sqrt{5} × 3\sqrt{15} = (2 × 3) × (\sqrt{5} × \sqrt{15}) = 6 × \sqrt{75} = 6 × \sqrt{25 × 3} = 6 × 5\sqrt{3} = 30\sqrt{3}$
$7\sqrt{2}$；$30\sqrt{3}$
$2\sqrt{5} × 3\sqrt{15} = (2 × 3) × (\sqrt{5} × \sqrt{15}) = 6 × \sqrt{75} = 6 × \sqrt{25 × 3} = 6 × 5\sqrt{3} = 30\sqrt{3}$
$7\sqrt{2}$；$30\sqrt{3}$
6. 计算：$\sqrt { 0.2 } × \sqrt { 1.8 } = $
0.6
；$\sqrt { \frac { 8 } { 3 } } × \sqrt { \frac { 1 } { 6 } } = $$\frac{2}{3}$
.
答案：
【解析】：
本题主要考查二次根式的乘法运算。根据二次根式的乘法法则，即$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{a × b}$，我们可以将两个二次根式相乘的结果转化为一个二次根式下的乘法结果。
对于第一个表达式 $\sqrt{0.2} × \sqrt{1.8}$，我们可以直接应用二次根式的乘法法则，得到 $\sqrt{0.2 × 1.8}$，然后计算得到结果。
对于第二个表达式 $\sqrt{\frac{8}{3}} × \sqrt{\frac{1}{6}}$，我们同样应用二次根式的乘法法则，得到 $\sqrt{\frac{8}{3} × \frac{1}{6}}$，然后进行化简和计算。
【答案】：
对于 $\sqrt{0.2} × \sqrt{1.8}$：
$\sqrt{0.2} × \sqrt{1.8} = \sqrt{0.2 × 1.8} = \sqrt{0.36} = 0.6$
对于 $\sqrt{\frac{8}{3}} × \sqrt{\frac{1}{6}}$：
$\sqrt{\frac{8}{3}} × \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{8}{3} × \frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$
本题主要考查二次根式的乘法运算。根据二次根式的乘法法则，即$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{a × b}$，我们可以将两个二次根式相乘的结果转化为一个二次根式下的乘法结果。
对于第一个表达式 $\sqrt{0.2} × \sqrt{1.8}$，我们可以直接应用二次根式的乘法法则，得到 $\sqrt{0.2 × 1.8}$，然后计算得到结果。
对于第二个表达式 $\sqrt{\frac{8}{3}} × \sqrt{\frac{1}{6}}$，我们同样应用二次根式的乘法法则，得到 $\sqrt{\frac{8}{3} × \frac{1}{6}}$，然后进行化简和计算。
【答案】：
对于 $\sqrt{0.2} × \sqrt{1.8}$：
$\sqrt{0.2} × \sqrt{1.8} = \sqrt{0.2 × 1.8} = \sqrt{0.36} = 0.6$
对于 $\sqrt{\frac{8}{3}} × \sqrt{\frac{1}{6}}$：
$\sqrt{\frac{8}{3}} × \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{8}{3} × \frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$
7. 计算：$\sqrt { 6 x } \cdot \sqrt { 2 x } = $
$2x\sqrt{3}$
；$16 \sqrt { a ^ { 3 } b } ÷ \sqrt { 2 a } = $$8a\sqrt{2b}$
.
答案：
解：$\sqrt{6x} \cdot \sqrt{2x} = \sqrt{6x \cdot 2x} = \sqrt{12x^2} = 2x\sqrt{3}$；
$16\sqrt{a^3b} ÷ \sqrt{2a} = 16\sqrt{\frac{a^3b}{2a}} = 16\sqrt{\frac{a^2b}{2}} = 16 \cdot \frac{a\sqrt{2b}}{2} = 8a\sqrt{2b}$
答案：$2x\sqrt{3}$；$8a\sqrt{2b}$
$16\sqrt{a^3b} ÷ \sqrt{2a} = 16\sqrt{\frac{a^3b}{2a}} = 16\sqrt{\frac{a^2b}{2}} = 16 \cdot \frac{a\sqrt{2b}}{2} = 8a\sqrt{2b}$
答案：$2x\sqrt{3}$；$8a\sqrt{2b}$
8. 计算：$\sqrt { 3 } × \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 6 } = $
$\frac { 3 } { 2 } \sqrt { 2 }$
；$\sqrt { 3 } ÷ \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 6 } = $$\sqrt { 2 }$
.
答案：
【解析】：
本题考查二次根式的乘法和除法运算。对于第一个表达式，我们需要将根式外的数相乘，再将根式内的数相乘，然后化简得到结果。对于第二个表达式，我们需要将除法转化为乘法，即乘以除数的倒数，然后按照乘法运算的规则进行计算。
【答案】：
解：
1. $\sqrt { 3 } × \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 6 }$
$= \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 3 × 6 }$
$= \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 18 }$
$= \frac { 1 } { 2 } × 3\sqrt { 2 }$
$= \frac { 3 } { 2 } \sqrt { 2 }$
2. $\sqrt { 3 } ÷ \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 6 }$
$= \sqrt { 3 } × \frac { 2 } { \sqrt { 6 } }$
$= \frac { 2\sqrt { 3 } } { \sqrt { 6 } }$
$= \frac { 2\sqrt { 3 } × \sqrt { 6 } } { 6 }$
$= \frac { 2 × 3\sqrt { 2 } } { 6 }$
$= \sqrt { 2 }$
故答案为：$\frac { 3 } { 2 } \sqrt { 2 }$；$\sqrt { 2 }$。
本题考查二次根式的乘法和除法运算。对于第一个表达式，我们需要将根式外的数相乘，再将根式内的数相乘，然后化简得到结果。对于第二个表达式，我们需要将除法转化为乘法，即乘以除数的倒数，然后按照乘法运算的规则进行计算。
【答案】：
解：
1. $\sqrt { 3 } × \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 6 }$
$= \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 3 × 6 }$
$= \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 18 }$
$= \frac { 1 } { 2 } × 3\sqrt { 2 }$
$= \frac { 3 } { 2 } \sqrt { 2 }$
2. $\sqrt { 3 } ÷ \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 6 }$
$= \sqrt { 3 } × \frac { 2 } { \sqrt { 6 } }$
$= \frac { 2\sqrt { 3 } } { \sqrt { 6 } }$
$= \frac { 2\sqrt { 3 } × \sqrt { 6 } } { 6 }$
$= \frac { 2 × 3\sqrt { 2 } } { 6 }$
$= \sqrt { 2 }$
故答案为：$\frac { 3 } { 2 } \sqrt { 2 }$；$\sqrt { 2 }$。
9. 计算：
(1)$\sqrt { 50 } - \sqrt { 98 } = $
(3)$\sqrt { 2 m ^ { 3 } } + \sqrt { 8 m } - \sqrt { 2 m n ^ { 2 } } ( n ＜ 0 ) = $
(1)$\sqrt { 50 } - \sqrt { 98 } = $
$-2\sqrt{2}$
； (2)$\sqrt { 50 } - \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } + \sqrt { 18 } = $$\frac{15\sqrt{2}}{2}$
；(3)$\sqrt { 2 m ^ { 3 } } + \sqrt { 8 m } - \sqrt { 2 m n ^ { 2 } } ( n ＜ 0 ) = $
$(m + n + 2)\sqrt{2m}$
.
答案：
【解析】：
本题主要考察二次根式的化简和运算。
对于第一个表达式，我们需要将各项化为最简二次根式，然后进行合并。
对于第二个和第三个表达式，同样需要将各项化为最简二次根式，并注意合并同类项。
(1)
首先化简 $\sqrt{50}$ 和 $\sqrt{98}$：
$\sqrt{50} = \sqrt{25 × 2} = 5\sqrt{2},$
$\sqrt{98} = \sqrt{49 × 2} = 7\sqrt{2}.$
然后进行减法运算：
$5\sqrt{2} - 7\sqrt{2} = -2\sqrt{2}.$
(2)
首先化简各项：
$\sqrt{50} = 5\sqrt{2},$
$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2},$
$\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2}.$
然后进行加减运算：
$5\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 3\sqrt{2} = \frac{15\sqrt{2}}{2}.$
(3)
首先化简各项，并注意 $n ＜ 0$ 的条件：
$\sqrt{2m^3} = m\sqrt{2m},$
$\sqrt{8m} = 2\sqrt{2m},$
$\sqrt{2mn^2} = -n\sqrt{2m} \quad (\text{因为} n ＜ 0).$
然后进行加减运算：
$m\sqrt{2m} + 2\sqrt{2m} - (-n\sqrt{2m}) = (m + 2 + n)\sqrt{2m}.$
【答案】：
(1) $-2\sqrt{2}$
(2) $\frac{15\sqrt{2}}{2}$
(3) $(m + n + 2)\sqrt{2m}$
本题主要考察二次根式的化简和运算。
对于第一个表达式，我们需要将各项化为最简二次根式，然后进行合并。
对于第二个和第三个表达式，同样需要将各项化为最简二次根式，并注意合并同类项。
(1)
首先化简 $\sqrt{50}$ 和 $\sqrt{98}$：
$\sqrt{50} = \sqrt{25 × 2} = 5\sqrt{2},$
$\sqrt{98} = \sqrt{49 × 2} = 7\sqrt{2}.$
然后进行减法运算：
$5\sqrt{2} - 7\sqrt{2} = -2\sqrt{2}.$
(2)
首先化简各项：
$\sqrt{50} = 5\sqrt{2},$
$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2},$
$\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2}.$
然后进行加减运算：
$5\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 3\sqrt{2} = \frac{15\sqrt{2}}{2}.$
(3)
首先化简各项，并注意 $n ＜ 0$ 的条件：
$\sqrt{2m^3} = m\sqrt{2m},$
$\sqrt{8m} = 2\sqrt{2m},$
$\sqrt{2mn^2} = -n\sqrt{2m} \quad (\text{因为} n ＜ 0).$
然后进行加减运算：
$m\sqrt{2m} + 2\sqrt{2m} - (-n\sqrt{2m}) = (m + 2 + n)\sqrt{2m}.$
【答案】：
(1) $-2\sqrt{2}$
(2) $\frac{15\sqrt{2}}{2}$
(3) $(m + n + 2)\sqrt{2m}$
10. 解方程：$\sqrt { \frac { 3 } { 2 } } = \sqrt { \frac { 27 } { 8 } } + x + \sqrt { \frac { 75 } { 2 } }$,得$x = $
$-\frac{11\sqrt{6}}{4}$
.
答案：
解：$\sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{27}{8}} + x + \sqrt{\frac{75}{2}}$
化简各二次根式：
$\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{\frac{27}{8}} = \frac{3\sqrt{6}}{4}$，$\sqrt{\frac{75}{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{2}$
代入原方程得：
$\frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{4} + x + \frac{5\sqrt{6}}{2}$
移项得：
$x = \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{3\sqrt{6}}{4} - \frac{5\sqrt{6}}{2}$
通分计算：
$x = \frac{2\sqrt{6}}{4} - \frac{3\sqrt{6}}{4} - \frac{10\sqrt{6}}{4} = -\frac{11\sqrt{6}}{4}$
$-\frac{11\sqrt{6}}{4}$
化简各二次根式：
$\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{\frac{27}{8}} = \frac{3\sqrt{6}}{4}$，$\sqrt{\frac{75}{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{2}$
代入原方程得：
$\frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{4} + x + \frac{5\sqrt{6}}{2}$
移项得：
$x = \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{3\sqrt{6}}{4} - \frac{5\sqrt{6}}{2}$
通分计算：
$x = \frac{2\sqrt{6}}{4} - \frac{3\sqrt{6}}{4} - \frac{10\sqrt{6}}{4} = -\frac{11\sqrt{6}}{4}$
$-\frac{11\sqrt{6}}{4}$
11. 要使$\frac { \sqrt { 2 x + 1 } } { \sqrt { 1 - x } } = \sqrt { \frac { 2 x + 1 } { 1 - x } }$成立,则$x$的取值范围是
$-\frac{1}{2} \leq x ＜ 1$
.
答案：
【解析】：
本题主要考查二次根式的性质以及不等式的求解。
首先，根据二次根式的定义，被开方数需要非负，即：
$2x + 1 \geq 0$
$1 - x ＞ 0$
解第一个不等式 $2x + 1 \geq 0$，得到：
$2x \geq -1$
$x \geq -\frac{1}{2}$
解第二个不等式 $1 - x ＞ 0$，得到：
$x ＜ 1$
综合两个不等式的解，我们得到 $x$ 的取值范围为：
$-\frac{1}{2} \leq x ＜ 1$
故答案为：$-\frac{1}{2} \leq x ＜ 1$。
【答案】：
$-\frac{1}{2} \leq x ＜ 1$
本题主要考查二次根式的性质以及不等式的求解。
首先，根据二次根式的定义，被开方数需要非负，即：
$2x + 1 \geq 0$
$1 - x ＞ 0$
解第一个不等式 $2x + 1 \geq 0$，得到：
$2x \geq -1$
$x \geq -\frac{1}{2}$
解第二个不等式 $1 - x ＞ 0$，得到：
$x ＜ 1$
综合两个不等式的解，我们得到 $x$ 的取值范围为：
$-\frac{1}{2} \leq x ＜ 1$
故答案为：$-\frac{1}{2} \leq x ＜ 1$。
【答案】：
$-\frac{1}{2} \leq x ＜ 1$
12. 在$\triangle A B C$中,$B C边上的高h = 6 \sqrt { 3 } \mathrm { cm }$,它的面积恰好等于边长为$3 \sqrt { 2 } \mathrm { cm }$的正方形的面积,则$B C$的长为
$2\sqrt{3}\,\text{cm}$
.
答案：
解：由题意得，正方形面积为$(3\sqrt{2})^2 = 18\,\text{cm}^2$，即$\triangle ABC$面积$S = 18\,\text{cm}^2$。
因为$\triangle ABC$面积$S = \frac{1}{2} × BC × h$，$h = 6\sqrt{3}\,\text{cm}$，所以：
$\frac{1}{2} × BC × 6\sqrt{3} = 18$
化简得：$3\sqrt{3} × BC = 18$
解得：$BC = \frac{18}{3\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\,\text{cm}$
$2\sqrt{3}\,\text{cm}$
因为$\triangle ABC$面积$S = \frac{1}{2} × BC × h$，$h = 6\sqrt{3}\,\text{cm}$，所以：
$\frac{1}{2} × BC × 6\sqrt{3} = 18$
化简得：$3\sqrt{3} × BC = 18$
解得：$BC = \frac{18}{3\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\,\text{cm}$
$2\sqrt{3}\,\text{cm}$
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