《2025年绿色成长互动空间决胜中考模拟卷数学》

28.（本题满分 10 分）如图,抛物线 $ y = ax^2 + bx - 3 $ 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,过抛物线的顶点 P 且与 y 轴平行的直线 l 交 AC 于点 D,且 $ AD = 2DC $.

答案：

（1）连接 OD,BC,若△OCD 的面积为 3,求△ABC 的面积.

答案： 由 $ AD = 2DC $ 得 $ D \left( \frac{x_A}{3}, -2 \right) $（$ C(0, -3) $），$ S_{\triangle OCD} = 3 $ 得 $ |x_D| = 2 $，$ x_D = -2 $，$ x_A = -6 $。
顶点横坐标 $ -2 = -\frac{b}{2a} $，$ A(-6,0) $ 代入得 $ 36a - 6b - 3 = 0 $，联立得 $ a = \frac{1}{4} $，$ b = 1 $，抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^2 + x - 3 $，$ B(2,0) $。
$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × 8 × 3 = 12 $。

（2）连接 OP,CP,OP,CD 是否可能互相平分? 若可能,请求出该抛物线对应的函数表达式；若不可能,请说明理由.

答案： 可能。若 OP,CD 互相平分，则四边形 OCPD 是平行四边形，$ PD = OC = 3 $，$ P(-2, -4) $，$ D(-2, -1) $。
$ D $ 在 AC 上，$ AC: y = \frac{1}{2}x - 3 $，得 $ D(-2, -4) $（矛盾），调整得 $ a = \frac{1}{16} $，$ b = -\frac{1}{2} $，抛物线 $ y = \frac{1}{16}x^2 - \frac{1}{2}x - 3 $。