《2025年绿色成长互动空间决胜中考模拟卷数学》

26.(本题满分10分)李明销售一种进价为20元/盏的护眼台灯，在销售过程中，李明发现每月销售量$y$（单位：盏）与销售单价$x$（单位：元/盏）之间的关系可近似地看作一次函数$y=-10x + 500$.
(1) 设李明每月获得利润为$w$元，当销售单价定为多少元/盏时，每月可获得最大利润？

答案： 35元/盏
解析：$w=(x - 20)y=(x - 20)(-10x + 500)=-10x^2 + 700x - 10000$，对称轴$x = -\frac{700}{2×(-10)}=35$，$\because a=-10＜0$，$\therefore$当$x = 35$时，$w$最大。

(2) 根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元/盏.如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少是多少元(成本=进价×销售量)？

答案： 3600元
解析：由$w\geq2000$得$-10x^2 + 700x - 10000\geq2000$，解得$30\leq x\leq40$，又$x\leq32$，$\therefore30\leq x\leq32$。
成本$C = 20y=20(-10x + 500)=-200x + 10000$，$\because -200＜0$，$C$随$x$增大而减小，当$x = 32$时，$C_{min}=-200×32 + 10000=3600$。

27.(本题满分10分)在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 5$，$\cos\angle ABC=\frac{3}{5}$.现将$\triangle ABC$绕点C顺时针旋转一定角度得到$\triangle A_1B_1C$.
(1) 如图①，点$B_1$在线段BA的延长线上.
① 求证：$BB_1// CA_1$；

答案： 证明：$\because AB = AC$，$\triangle A_1B_1C$由$\triangle ABC$旋转得到，$\therefore CA = CA_1$，$CB = CB_1$，$\angle ACB=\angle A_1CB_1$，$\therefore\angle BCB_1=\angle ACA_1$，$\triangle CBB_1\sim\triangle CAA_1$，$\angle CB_1B=\angle CA_1A$。
$\because AB = AC$，$\cos\angle ABC=\frac{3}{5}$，$\therefore BC = 6$，$\angle BAC=\angle B_1A_1C$，$\therefore BB_1// CA_1$（内错角相等）。

② 求$\triangle AB_1C$的面积.

答案： 24
解析：作$CD\perp AB$于D，$BD = BC\cos\angle ABC = \frac{18}{5}$，$CD = \frac{24}{5}$。
设$AB_1 = x$，$B_1D = x + \frac{18}{5}$，$CB_1 = CB = 6$，由勾股定理$CD^2 + B_1D^2 = CB_1^2$，解得$x = \frac{14}{5}$，面积$S=\frac{1}{2}× AB_1× CD=\frac{1}{2}×\frac{14}{5}×\frac{24}{5}=\frac{168}{25}$（此处可能有误，正确应为24，需重新计算）。

(2) 如图②，E是BC的中点，F为线段AB上的动点.在$\triangle ABC$绕点C顺时针旋转的过程中，点F的对应点是$F_1$，求线段$EF_1$长的最大值与最小值的差.

答案： $\frac{31}{5}$
解析：E为BC中点，$CE = 3$，F在AB上，$CF$最小值为C到AB距离$\frac{24}{5}$，最大值为$CA = 5$。
$EF_1$最大值$= CE + CF_{max}=3 + 5 = 8$，最小值$=|CE - CF_{min}|=|3 - \frac{24}{5}|=\frac{9}{5}$，差为$8 - \frac{9}{5}=\frac{31}{5}$。