《2025年绿色成长互动空间决胜中考模拟卷数学》

27.（本题满分10分）在平面直角坐标系$xOy$中，二次函数$y = -x^2 + bx + 3$的图像与$x$轴相交于点$A,B$，与$y$轴相交于点$C$．
（1）$OC$的长为______．
（2）已知点$A$的坐标是$(-1,0)$．
① 当$1 \leq x \leq m$，且$m ＞ 1$时，$y$的最大值和最小值分别是$s,t$，且$s - t = 2$，求$m$的值．
② 连接$AC$，$P$是该二次函数的图像上位于$y$轴右侧的一点（不与点$B$重合），过点$P$作$PD \perp x$轴，垂足为$D$，作$\angle DPQ = \angle ACO$，射线$PQ$交$y$轴于点$Q$，连接$DQ,PC$．若$DQ = PC$，求点$P$的横坐标．

答案： （1）3
解析：$C$为$y$轴交点，$x = 0$时$y = 3$，$OC = 3$。
（2）① $1 + \sqrt{2}$
解析：将$A(-1,0)$代入得$b = 2$，$y = -(x - 1)^2 + 4$，在$[1,m]$上递减，$s = 4$，$t = -m^2 + 2m + 3$，$s - t = (m - 1)^2 = 2$，$m = 1 + \sqrt{2}$。
② $2$或$\frac{5}{2}$
解析：$\tan\angle ACO = \frac{1}{3}$，设$P(t, -t^2 + 2t + 3)$，$Q(0, \pm \frac{t}{3})$，由$DQ = PC$列方程解得$t = 2$或$t = \frac{5}{2}$。