《2025年绿色成长互动空间决胜中考模拟卷数学》

28. （本题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线$ y = -x^2 + bx + 3 $与x轴交于点$ A(-1,0) $和点B，与y轴交于点C.
（1）求b的值.
（2）如图①，点M在第一象限内，且在该抛物线上，$ \angle MAB = \angle ACO $，求点M的横坐标.
（3）如图②，将该抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线L与y轴交于点N，设新抛物线L的顶点的横坐标为n，NC的长为d.
① 求d关于n的函数表达式.
② 记新抛物线L与x轴围成的区域为U，U与$ \triangle ABC $内部重合的区域（即图②中阴影部分，不含边界）为W. 当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围.

答案： （1）2；（2）$ \frac{8}{3} $；（3）①$ d = n^2 - 1 $；②$ 1 ＜ n ＜ 2 $
＜解析＞（1）代入$ A(-1,0) \Rightarrow 0 = -1 - b + 3 \Rightarrow b = 2 $；
（2）$ A(-1,0) $，$ C(0,3) $，$ \tan \angle ACO = \frac{1}{3} $，设$ M(x,y) $，$ \frac{y}{x + 1} = \frac{1}{3} $，联立抛物线得$ x = \frac{8}{3} $；
（3）①新抛物线$ y = -(x - n)^2 + n^2 + 3 $，$ N(0, -n^2 + 3) $，$ d = |3 - (-n^2 + 3)| = n^2 $（修正：应为$ d = |n^2| $，即$ d = n^2 $）；②$ 1 ＜ n ＜ 2 $。