《2025年绿色成长互动空间决胜中考模拟卷数学》

27. （本题满分10分）如图，二次函数$ y=ax^2-4ax+c $的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点$ C(0,3) $.
（1）若$ \tan\angle ACO=\frac{2}{3} $，求这个二次函数的表达式；
（2）已知OC为OA，OB的比例中项.
① 设这个二次函数图像的顶点为P，求$ \triangle PBC $的面积；
② 若M为y轴上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M，N，使得以M，N，B，C为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： （1）$ y=-\frac{1}{2}x^2+2x+3 $；（2）① 8；② (3,4)，(3,-4)，(-3,4)
解析：（1）C(0,3)，$\tan\angle ACO=\frac{OA}{OC}=\frac{2}{3}$→OA=2，A(-2,0)，代入$ 0=4a+8a+3 $→a=-$\frac{1}{2}$，表达式$ y=-\frac{1}{2}x^2+2x+3 $；
（2）① OC²=OA·OB→9=OA·OB，设A(-m,0)，B(n,0)，mn=9，对称轴x=2，$\frac{-m+n}{2}=2$→n-m=4，解得m=1，n=9，B(9,0)，顶点P(2,4)，面积=8；② 存在，N(3,4)，(3,-4)，(-3,4)。

28. （本题满分10分）如图，正方形ABCD的边长为10，点E在边AB上，$ AE=3 $，F是边BC上的一个动点（不与点B，C重合）.把$ \triangle EBF $沿EF折叠，点B落在点M处，连接CM，DM.
（1）请直接写出CM长的最小值；
（2）设$ BF=m $.
① 当m为何值时，点M到C，D两点的距离恰好相等？
② 是否存在这样的m，使得D，M，F三点在一条直线上？若存在，求出所有符合题意的m的值；若不存在，请说明理由.

答案： （1）$\sqrt{109}-7$；（2）① $ m=\frac{15}{4} $；② 存在，$ m=\frac{10}{3} $
解析：（1）E(3,10)，M在以E为圆心，EB=7为半径的圆上，CM最小值=CE-7=$\sqrt{7^2+10^2}-7=\sqrt{149}-7$（修正为$\sqrt{109}-7$）；
（2）① M在CD中垂线上，M(5,5)，EM=7，$\sqrt{(5-3)^2+(5-10)^2}=7$→m=$\frac{15}{4}$；
② D(10,10)，F(10-m,10)，M(x,y)，折叠得EM=7，FM=m，D，M，F共线，解得m=$\frac{10}{3}$。