《2025年绿色成长互动空间决胜中考模拟卷数学》

10. 如图，在边长为6的等边三角形ABC中，M是高CH上的一个动点，连接BM，将线段BM绕点B逆时针旋转$ 60^\circ $得到BN，连接HN. 当点M从点C运动到点H的过程中，点N运动的路程为（ ）
A. $ \sqrt{3} $ B. $ 2\sqrt{3} $ C. 3 D. $ 3\sqrt{3} $

答案： D
＜解析＞等边△ABC高$ CH = 3\sqrt{3} $。设$ M(0,m) $（$ 0 \leq m \leq 3\sqrt{3} $），$ B(3,0) $，旋转后$ N $坐标为$ \left( \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}m}{2}, \frac{m}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2} \right) $，轨迹为直线。当$ m = 0 $时$ N\left( \frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2} \right) $；$ m = 3\sqrt{3} $时$ N(-3,0) $。路程$ \sqrt{\left( -3 - \frac{3}{2} \right)^2 + \left( 0 + \frac{3\sqrt{3}}{2} \right)^2} = 3\sqrt{3} $，故选D。

11. 分解因式：$ a^2b - b = $__________.

答案： $ b(a - 1)(a + 1) $
＜解析＞$ a^2b - b = b(a^2 - 1) = b(a - 1)(a + 1) $。

12. 某海域已探明的可燃冰存储量达$ 1500000000 \, m^3 $. 数据$ 1500000000 $用科学记数法表示为__________.

答案： $ 1.5 × 10^9 $
＜解析＞科学记数法：$ 1500000000 = 1.5 × 10^9 $。

13. 已知方程$ x^2 - 7x + 2 = 0 $的两个解分别为$ x_1, x_2 $，则$ x_1x_2 $的值为__________.

答案： 2
＜解析＞由韦达定理：$ x_1x_2 = \frac{c}{a} = 2 $。

14. 已知函数$ y = kx $的图像经过第二、四象限，且不经过点$ (-1,1) $，请写出一个符合条件的函数表达式：__________.

答案： $ y = -2x $（答案不唯一）
＜解析＞经过二、四象限则$ k ＜ 0 $，不经过$ (-1,1) $则$ k \neq -1 $，如$ y = -2x $。

15. 已知$ \begin{cases} x = 2 \\ y = -3 \end{cases} $是方程组$ \begin{cases} ax + by = 2 \\ bx + ay = 3 \end{cases} $的解，则$ a^2 - b^2 $的值为__________.

答案： 1
＜解析＞代入得$ \begin{cases} 2a - 3b = 2 \\ 2b - 3a = 3 \end{cases} $，相加$ -a - b = 5 \Rightarrow a + b = -5 $；相减$ 5a - 5b = -1 \Rightarrow a - b = -\frac{1}{5} $，$ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) = (-5)(-\frac{1}{5}) = 1 $。

16. 如图，将$ \triangle ABC $沿中位线MN折叠后，点A落在点$ A' $处. 若$ \angle A = 28^\circ $，$ \angle B = 120^\circ $，则$ \angle A'NC $的度数为__________.

答案： 76°
＜解析＞$ \angle C = 32^\circ $，中位线$ MN // BC $，$ \angle ANM = \angle C = 32^\circ $，折叠后$ \angle A'NM = 32^\circ $，$ \angle MNC = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ $，$ \angle A'NC = 148^\circ - 32^\circ = 76^\circ $。

17. 已知二次函数$ y = ax^2 + c(a ＞ 0) $的图像与一次函数$ y = kx + b(k ＞ 0) $的图像交于$ M(-\sqrt{2}, m) $，$ N(2, n) $两点，则关于x的不等式$ ax^2 - kx - b + c ＜ 0 $的解集为__________.

答案： $ -\sqrt{2} ＜ x ＜ 2 $
＜解析＞不等式等价于$ ax^2 + c ＜ kx + b $，即二次函数图像在一次函数下方，解集为交点间区间：$ -\sqrt{2} ＜ x ＜ 2 $。

18. 如图，直线$ l_1 // l_2 $，A是直线$ l_1 $上的定点，$ AB \perp $直线$ l_2 $于点B，C，D分别是直线$ l_1, l_2 $上的动点，且位于直线AB两侧，连接CD交AB于点E，过点B作$ BH \perp CD $于点H. 若H恰好为DE的中点，则$ \frac{AB}{CD} $的值为__________；若$ AC = BD $，则当$ \angle BAH $最大时，$ \sin \angle BAH $的值为__________.

答案： $ \frac{\sqrt{2}}{2} $；$ \frac{1}{3} $
＜解析＞①坐标法可证$ AB = \frac{\sqrt{2}}{2}CD \Rightarrow \frac{AB}{CD} = \frac{\sqrt{2}}{2} $；②当$ AC = BD $时，$ \angle BAH $最大时$ \sin \angle BAH = \frac{1}{3} $。