《2025年绿色成长互动空间决胜中考模拟卷数学》

25. （本题满分10分）如图①，在$ Rt\triangle ABC $中，$ \angle C=90^\circ $，O为斜边AB上一点，以点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，与AB的另一个交点为E，连接DE.
（1）请在图中找出与$ \triangle ADE $相似的三角形，并说明理由；
（2）若$ AC=3 $，$ AE=4 $，求图中阴影部分的面积；
（3）小明在解题过程中思考这样一个问题：图①中$ \odot O $的圆心是怎么确定的？请在图②中利用尺规找到符合题意的圆心O，并写出作图方法.

答案： （1）$\triangle ABC$；（2）$\frac{2\pi}{3}$；（3）略
解析：（1）OD⊥BC，OD//AC，$\angle ADE=\angle ABC$，$\angle A=\angle A$，$\triangle ADE\sim\triangle ABC$；
（2）AE=4=2r→r=2，OD=2，$\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{AB}$→$\frac{2}{3}=\frac{AB-2}{AB}$→AB=6，$\angle A=60^\circ$，阴影面积=扇形ODE面积=$\frac{60^\circ}{360^\circ}\pi r^2=\frac{2\pi}{3}$；
（3）作$\angle A$平分线交BC垂线于O。